Похожие вопросы
2025-10-25 15:21:37
Реши предел: lim стремится к бесконечности ((3x+1) / (3x+2) ) ^(2-x)
Математика Колледж Пределы и бесконечности предел математика лимит бесконечность дробь функция решение 3x+1 3x+2 2-x Новый
2025-10-25 15:22:03
Давайте рассмотрим предел:
lim (x -> ∞) ((3x + 1) / (3x + 2)) ^ (2 - x).
Для начала упростим дробь (3x + 1) / (3x + 2) при x, стремящемся к бесконечности. Мы можем выделить главный член в числителе и знаменателе:
- Числитель: 3x + 1 ≈ 3x (при x → ∞)
- Знаменатель: 3x + 2 ≈ 3x (при x → ∞)
Таким образом, мы можем записать:
(3x + 1) / (3x + 2) ≈ 3x / 3x = 1.
Теперь подставим это в предел:
lim (x -> ∞) ((3x + 1) / (3x + 2)) ^ (2 - x) ≈ lim (x -> ∞) (1) ^ (2 - x).
Теперь рассмотрим выражение (2 - x). Когда x стремится к бесконечности, (2 - x) стремится к минус бесконечности.
Таким образом, у нас получается:
lim (x -> ∞) (1) ^ (2 - x) = 1 ^ (-∞).
Форма 1 ^ (-∞) является неопределенной. Чтобы решить этот предел, мы можем использовать логарифмическое преобразование.
Давайте обозначим:
y = ((3x + 1) / (3x + 2)) ^ (2 - x).
Тогда возьмем натуральный логарифм:
ln(y) = (2 - x) * ln((3x + 1) / (3x + 2)).
Теперь найдем предел ln(y) при x стремящемся к бесконечности:
lim (x -> ∞) ln(y) = lim (x -> ∞) (2 - x) * ln((3x + 1) / (3x + 2)).
Как мы уже выяснили, (3x + 1) / (3x + 2) стремится к 1, а значит, ln((3x + 1) / (3x + 2)) стремится к ln(1) = 0.
Теперь нужно оценить, как быстро ln((3x + 1) / (3x + 2)) стремится к 0.
Мы можем использовать разложение в ряд Тейлора для ln(1 + u), где u = (1/(3x + 2) - 1/(3x + 1)):
ln((3x + 1) / (3x + 2)) ≈ -1/(3x) (при x → ∞).
Теперь подставим это обратно в предел:
lim (x -> ∞) (2 - x) * (-1/(3x)) = lim (x -> ∞) - (2 - x)/(3x).
При x стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к -1/3.
Теперь мы имеем:
ln(y) → -1/3.
Следовательно, y стремится к e^(-1/3).
Таким образом, предел:
lim (x -> ∞) ((3x + 1) / (3x + 2)) ^ (2 - x) = e^(-1/3).