Давайте начнем с решения данного дифференциального уравнения. Уравнение, которое вы привели, выглядит как:

y'' - 11y' + 24y = 0

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Для его решения мы можем использовать метод характеристического уравнения.

Шаги решения:

1. Запишем характеристическое уравнение: Для уравнения y'' - 11y' + 24y = 0 характеристическое уравнение будет выглядеть так:
• r^2 - 11r + 24 = 0
2. Решим характеристическое уравнение: Используем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4*1*24 = 121 - 96 = 25
3. Найдем корни: Поскольку D > 0, у нас два различных корня:
• r1 = (11 + sqrt(25)) / 2 = (11 + 5) / 2 = 8
• r2 = (11 - sqrt(25)) / 2 = (11 - 5) / 2 = 3
4. Запишем общее решение: Общее решение будет иметь вид:
• y(x) = C1 * e^(8x) + C2 * e^(3x)
5. Найдем константы C1 и C2, используя начальные условия: У нас есть два начальных условия: y(0) = 12 и y'(0) = 3.
• Подставим x = 0 в общее решение:
• y(0) = C1 * e^(0) + C2 * e^(0) = C1 + C2 = 12
• Теперь найдем производную y'(x):
• y'(x) = 8C1 * e^(8x) + 3C2 * e^(3x)
• Подставим x = 0 в производную:
• y'(0) = 8C1 + 3C2 = 3
• Теперь у нас есть система уравнений:
• C1 + C2 = 12
• 8C1 + 3C2 = 3
• Решим эту систему: Из первого уравнения выразим C2:
• C2 = 12 - C1
• Подставим C2 во второе уравнение:
• 8C1 + 3(12 - C1) = 3
• 8C1 + 36 - 3C1 = 3
• 5C1 + 36 = 3
• 5C1 = 3 - 36
• 5C1 = -33
• C1 = -33/5
• Теперь найдем C2:
• C2 = 12 - (-33/5) = 12 + 33/5 = 60/5 + 33/5 = 93/5

Таким образом, константы C1 и C2 равны:

• C1 = -33/5
• C2 = 93/5

Итак, окончательное решение дифференциального уравнения будет:

y(x) = (-33/5)e^(8x) + (93/5)e^(3x)