Чтобы вычислить интеграл ∫ (13 - 6x)/(6 + x - x²) dx, начнем с разложения дроби на простейшие. Для этого сначала упростим знаменатель.

Знаменатель 6 + x - x² можно переписать в стандартном виде:

-x² + x + 6 = -(x² - x - 6).

Теперь найдем корни квадратного уравнения x² - x - 6 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.
• Корни уравнения: x1 = (1 + √25) / 2 = 3, x2 = (1 - √25) / 2 = -2.

Таким образом, мы можем разложить знаменатель:

6 + x - x² = -(x - 3)(x + 2).

Теперь мы можем использовать метод разложения на простейшие. Пишем:

(13 - 6x) / (-(x - 3)(x + 2)) = A / (x - 3) + B / (x + 2).

Умножим обе стороны на знаменатель -(x - 3)(x + 2):

13 - 6x = -A(x + 2) - B(x - 3).

Раскроем скобки:

13 - 6x = -Ax - 2A - Bx + 3B.

Соберем подобные слагаемые:

13 - 6x = -(A + B)x + (3B - 2A).

Теперь приравняем коэффициенты:

• -A - B = -6 (коэффициент при x),
• 3B - 2A = 13 (свободный член).

Теперь решим систему уравнений:

1. Из первого уравнения: A + B = 6.
2. Подставим A = 6 - B во второе уравнение:
3. 3B - 2(6 - B) = 13.
4. 3B - 12 + 2B = 13.
5. 5B - 12 = 13.
6. 5B = 25.
7. B = 5.
8. Теперь подставим B в первое уравнение: A + 5 = 6, A = 1.

Таким образом, мы имеем A = 1 и B = 5. Теперь можем записать исходный интеграл в разложенном виде:

∫ (13 - 6x)/(6 + x - x²) dx = ∫ (1/(x - 3)) dx + ∫ (5/(x + 2)) dx.

Теперь можем интегрировать каждую часть:

1. ∫ (1/(x - 3)) dx = ln|x - 3| + C1.
2. ∫ (5/(x + 2)) dx = 5ln|x + 2| + C2.

Объединим результаты:

∫ (13 - 6x)/(6 + x - x²) dx = ln|x - 3| + 5ln|x + 2| + C, где C = C1 + C2 - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:

∫ (13 - 6x)/(6 + x - x²) dx = ln|x - 3| + 5ln|x + 2| + C.