Давайте решим задачу шаг за шагом.

Часть (a): Проекция отрезка A1C на основание

Для начала определим координаты точек A1 и C:

• A1(0, 0, 12) - это верхняя точка призмы, которая находится над точкой A.
• C(3, 4, 0) - это одна из вершин основания призмы.

Теперь найдем проекцию отрезка A1C на основание. Проекция будет находиться в плоскости z=0, поэтому мы просто игнорируем координату z:

• Проекция точки A1 на основание: A1(0, 0, 12) проецируется в A(0, 0, 0).
• Точка C уже находится в плоскости основания, поэтому ее проекция: C(3, 4, 0).

Таким образом, проекция отрезка A1C на основание - это отрезок AC с координатами A(0, 0, 0) и C(3, 4, 0).

Часть (b): Значение sin угла между отрезком A1C и основанием

Для нахождения угла между отрезком A1C и основанием, нам нужно сначала найти векторы, представляющие эти отрезки:

• Вектор A1C = C - A1 = (3 - 0, 4 - 0, 0 - 12) = (3, 4, -12).
• Вектор, представляющий основание (вектор в плоскости xy) можно взять, например, A(0,0,0) до C(3,4,0): (3 - 0, 4 - 0, 0 - 0) = (3, 4, 0).

Теперь мы можем найти длины этих векторов:

• Длина вектора A1C = √(3^2 + 4^2 + (-12)^2) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.
• Длина вектора AC = √(3^2 + 4^2 + 0^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Теперь мы можем найти синус угла между векторами:

• Синус угла можно найти по формуле: sin(θ) = |A1C x AC| / (|A1C| * |AC|), где x - векторное произведение.

Векторное произведение A1C x AC:

• A1C = (3, 4, -12)
• AC = (3, 4, 0)

Вычисляем векторное произведение:

• i (4*0 - (-12)*4) - j (3*0 - (-12)*3) + k (3*4 - 4*3) = i(0 + 48) - j(0 + 36) + k(12 - 12) = (48, -36, 0).

Теперь находим длину векторного произведения:

• |A1C x AC| = √(48^2 + (-36)^2 + 0^2) = √(2304 + 1296) = √3600 = 60.

Теперь подставим в формулу для синуса:

• sin(θ) = 60 / (13 * 5) = 60 / 65 = 12 / 13.

Расстояние от точки C до верхней грани призмы

Расстояние от точки C до верхней грани призмы можно найти, учитывая, что верхняя грань находится на высоте 12. Поскольку точка C имеет координаты (3, 4, 0), расстояние будет равно разности по координате z:

• Расстояние = 12 - 0 = 12.

Ответ:

• (a) Проекция отрезка A1C на основание - отрезок AC с координатами A(0, 0, 0) и C(3, 4, 0).
• (b) sin угла между отрезком A1C и основанием равен 12/13, расстояние от точки C до верхней грани призмы равно 12.