2025-11-10 20:58:14
Как можно доказать, что функция f(x) = sin(x²) является непрерывной и ограниченной на бесконечном интервале от минус бесконечности до плюс бесконечности, но не является равномерно непрерывной на этом интервале?
Математика Университет Анализ функций функция f(x) sin(x²) непрерывная функция ограниченная функция равномерная непрерывность доказательство функции интервал бесконечности математический анализ Новый
2025-11-10 20:58:38
Для того чтобы доказать, что функция f(x) = sin(x²) является непрерывной и ограниченной на интервале от минус бесконечности до плюс бесконечности, а также не является равномерно непрерывной, мы рассмотрим следующие шаги:
1. Доказательство непрерывности:Функция f(x) = sin(x²) является составной функцией, где x² — это полиномиальная функция, а sin(x) — тригонометрическая функция. Поскольку полиномиальные функции и тригонометрические функции являются непрерывными, то и их композиция также будет непрерывной. Таким образом, мы можем утверждать, что:
- Функция x² непрерывна на всей числовой прямой.
- Функция sin(x) непрерывна для всех x.
- Следовательно, функция f(x) = sin(x²) является непрерывной на интервале (-∞, +∞).
Функция sin(x) принимает значения в пределах от -1 до 1 для любого x. Поскольку x² — это просто аргумент функции sin, то:
- f(x) = sin(x²) также будет принимать значения в пределах от -1 до 1.
- Таким образом, функция f(x) ограничена: -1 ≤ f(x) ≤ 1 для всех x.
Теперь мы покажем, что функция f(x) не является равномерно непрерывной на (-∞, +∞). Для этого воспользуемся определением равномерной непрерывности:
- Функция f(x) равномерно непрерывна на интервале, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x1, x2 из интервала, если |x1 - x2| < δ, то |f(x1) - f(x2)| < ε.
Для функции f(x) = sin(x²) рассмотрим два значения x1 и x2, которые будут удалены друг от друга:
- Пусть x1 = nπ и x2 = nπ + δ, где n — целое число, а δ — очень маленькое положительное число.
- Тогда f(x1) = sin(n²π²) = 0, так как n²π² — это кратное 2π.
- А f(x2) = sin((nπ + δ)²) = sin(n²π² + 2nπδ + δ²).
При малом δ, значение 2nπδ + δ² может быть произвольно малым, но не нулевым, что приводит к тому, что f(x2) может принимать значения, близкие к 1 или -1. Таким образом,:
- |f(x1) - f(x2)| = |0 - sin((nπ + δ)²)| может быть произвольно большим.
Следовательно, для любого δ существует такое ε, что |f(x1) - f(x2)| ≥ ε, что и доказывает, что функция f(x) = sin(x²) не является равномерно непрерывной на интервале (-∞, +∞).
В заключение, мы доказали, что функция f(x) = sin(x²) является непрерывной и ограниченной, но не равномерно непрерывной на интервале от минус бесконечности до плюс бесконечности.