Как можно решить дифференциальное уравнение: y"-9y'=е^(2x)?

Математика Университет Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения y"-9y'=е^(2x) методы решения математика Дифференциальные уравнения Новый

Чтобы решить дифференциальное уравнение второго порядка вида y'' - 9y' = e^(2x), мы будем использовать метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Уравнение имеет два основных этапа: нахождение общего решения однородного уравнения и нахождение частного решения неоднородного уравнения.

Шаг 1: Нахождение общего решения однородного уравнения

Сначала решим однородное уравнение, которое получается, если приравнять правую часть к нулю:

y'' - 9y' = 0.

Для этого найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 9r = 0.

Факторизуем это уравнение:

r(r - 9) = 0.

Таким образом, у нас есть два корня:

• r1 = 0
• r2 = 9

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h = C1 + C2 * e^(9x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Нахождение частного решения неоднородного уравнения

Теперь найдем частное решение y_p для неоднородного уравнения y'' - 9y' = e^(2x). Поскольку правая часть имеет вид e^(2x), мы можем предположить, что частное решение имеет вид:

y_p = A * e^(2x),

где A - некоторая постоянная, которую нам нужно определить.

Теперь найдем производные y_p:

• y_p' = 2A * e^(2x)
• y_p'' = 4A * e^(2x)

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:

4A * e^(2x) - 9(2A * e^(2x)) = e^(2x).

Упрощаем это уравнение:

(4A - 18A) * e^(2x) = e^(2x).

Это дает:

-14A * e^(2x) = e^(2x).

Теперь приравняем коэффициенты:

-14A = 1.

Отсюда находим A:

A = -1/14.

Таким образом, частное решение будет:

y_p = -1/14 * e^(2x).

Шаг 3: Объединение решений

Теперь мы можем объединить общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения:

y = y_h + y_p = C1 + C2 * e^(9x) - 1/14 * e^(2x).

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.