Как найти интеграл функции e в степени x в кубе, умноженной на x в квадрате, по переменной x?

Математика Университет Интегралы и неопределённые интегралы интеграл функции интегрирование e в степени x интеграл x в квадрате математика нахождение интеграла Новый

Чтобы найти интеграл функции e в степени x в кубе, умноженной на x в квадрате, по переменной x, мы можем записать задачу следующим образом:

Нам нужно вычислить интеграл:

∫ e^(x^3) * x^2 dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги:

1. Выбор подстановки: Мы заметим, что производная функции e^(x^3) будет включать x^2. Поэтому мы можем сделать следующую подстановку:
• Пусть u = x^3.
• Тогда, чтобы найти du, мы берем производную: du/dx = 3x^2, или du = 3x^2 dx.
• Отсюда мы можем выразить dx: dx = du / (3x^2).
2. Подстановка в интеграл: Теперь подставим u и dx в наш интеграл:
• ∫ e^(x^3) * x^2 dx = ∫ e^u * (1/3) du.
3. Упрощение интеграла: Теперь мы можем вынести постоянный множитель 1/3 за знак интеграла:
• (1/3) ∫ e^u du.
4. Интегрирование функции e^u: Интеграл от e^u равен e^u. Таким образом, мы получаем:
• (1/3) * e^u + C, где C - произвольная константа интегрирования.
5. Возврат к переменной x: Теперь подставим обратно u = x^3:
• (1/3) * e^(x^3) + C.

Таким образом, окончательный ответ на наш интеграл:

∫ e^(x^3) * x^2 dx = (1/3) * e^(x^3) + C.