Как вычислить частную производную функции Z=cos^4(2x+5y)?

Математика Университет Частные производные функции нескольких переменных частная производная функция z cos^4(2x+5y) вычисление производной математика производная функции Новый

Ответ:

• ∂Z/∂x = -8cos³(2x + 5y)sin(2x + 5y)
• ∂Z/∂y = -20cos³(2x + 5y)sin(2x + 5y)

Пошаговое объяснение:

Для вычисления частных производных функции Z = cos⁴(2x + 5y) мы будем использовать правило цепного дифференцирования, так как у нас есть составная функция.

1. Частная производная по x (∂Z/∂x):

• Сначала определим внешнюю функцию: u⁴, где u = cos(2x + 5y).
• Теперь найдем производную внешней функции по u: это будет 4u³.
• Следующий шаг - найти производную внутренней функции по x: производная cos(2x + 5y) равна -sin(2x + 5y) * 2, так как мы применяем правило производной для косинуса и учитываем, что внутри функции есть 2x + 5y.

Теперь применим правило цепного дифференцирования:

• ∂Z/∂x = 4[cos(2x + 5y)]³ * [-sin(2x + 5y) * 2].
• Упрощаем: ∂Z/∂x = -8cos³(2x + 5y)sin(2x + 5y).

2. Частная производная по y (∂Z/∂y):

• Внешняя функция остается той же: u⁴, где u = cos(2x + 5y).
• Производная внешней функции по u также равна 4u³.
• Теперь найдем производную внутренней функции по y: производная cos(2x + 5y) равна -sin(2x + 5y) * 5.

Применяем правило цепного дифференцирования:

• ∂Z/∂y = 4[cos(2x + 5y)]³ * [-sin(2x + 5y) * 5].
• Упрощаем: ∂Z/∂y = -20cos³(2x + 5y)sin(2x + 5y).

Таким образом, мы получили:

• ∂Z/∂x = -8cos³(2x + 5y)sin(2x + 5y)
• ∂Z/∂y = -20cos³(2x + 5y)sin(2x + 5y)

Эти результаты подтверждают правильность вычислений частных производных функции Z = cos⁴(2x + 5y).