Для вычисления тройного интеграла ∭_V (x² + y² + z²)dxdydz, где область V задана условием x² + y² + z² = 4 и x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, мы можем использовать сферические координаты. Давайте разберем шаги решения подробно.

Шаг 1: Определение области интегрирования

• Условие x² + y² + z² = 4 описывает сферу радиуса 2.
• Поскольку x, y и z должны быть неотрицательными, мы ограничиваемся четвертью этой сферы, находящейся в первом октанте.

Шаг 2: Переход к сферическим координатам

В сферических координатах x, y и z выражаются следующим образом:

• x = ρ sin φ cos θ
• y = ρ sin φ sin θ
• z = ρ cos φ

Где:

• ρ - радиус-вектор (расстояние от начала координат до точки),
• φ - угол между радиус-вектором и осью z (от 0 до π/2 в первом октанте),
• θ - угол в плоскости xy (от 0 до π/2 в первом октанте).

Шаг 3: Определение пределов интегрирования

• Поскольку мы рассматриваем часть сферы радиуса 2, ρ будет изменяться от 0 до 2.
• Угол φ будет изменяться от 0 до π/2.
• Угол θ будет изменяться от 0 до π/2.

Шаг 4: Выражение под интегралом

Теперь под интегралом у нас будет:

• x² + y² + z² = ρ² (sin² φ cos² θ + sin² φ sin² θ + cos² φ) = ρ² (sin² φ + cos² φ) = ρ².

Шаг 5: Объемный элемент в сферических координатах

Объемный элемент dV в сферических координатах равен:

• dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.

Шаг 6: Запись интеграла

Теперь мы можем записать наш интеграл как:

∭_V (x² + y² + z²)dxdydz = ∫_0^(π/2) ∫_0^(π/2) ∫_0^2 ρ² * ρ² sin φ dρ dφ dθ.

Это упрощается до:

∫_0^(π/2) ∫_0^(π/2) ∫_0^2 ρ^4 sin φ dρ dφ dθ.

Шаг 7: Вычисление интеграла

1. Сначала вычислим интеграл по ρ:

∫_0^2 ρ^4 dρ = [ρ^5/5]_0^2 = (2^5)/5 = 32/5.

2. Теперь вычислим интеграл по φ:

∫_0^(π/2) sin φ dφ = [-cos φ]_0^(π/2) = 1.

3. И, наконец, интеграл по θ:

∫_0^(π/2) dθ = [θ]_0^(π/2) = π/2.

Шаг 8: Объединение результатов

Теперь мы можем объединить результаты:

Итог = (32/5) * 1 * (π/2) = 16π/5.

Таким образом, значение тройного интеграла равно 16π/5.