2025-10-29 07:37:26
Какова область $\Omega$, ограниченная цилиндром $x^2 + y^2 = 2x$, плоскостью $z=0$ и параболоидом $z=x^2 + y^2$?
Математика Университет Геометрия многомерного пространства область Ω цилиндр x^2 + y^2 = 2x плоскость z=0 параболоид z=x^2 + y^2 математические задачи геометрия интегралы трехмерная геометрия Новый
2025-10-29 07:37:45
Чтобы определить область Ω, ограниченную цилиндром x² + y² = 2x, плоскостью z = 0 и параболоидом z = x² + y², начнем с анализа каждого из этих объектов.
Шаг 1: Преобразование уравнения цилиндра
Уравнение цилиндра x² + y² = 2x можно переписать, переместив все элементы в одну сторону:
- x² - 2x + y² = 0
Теперь мы можем завершить квадрат для x:
- (x - 1)² + y² = 1
Это уравнение описывает цилиндр с радиусом 1, центрированный на плоскости x = 1.
Шаг 2: Определение границ по оси z
Плоскость z = 0 задает нижнюю границу области. Параболоид z = x² + y² задает верхнюю границу. Следовательно, для данной области Ω мы имеем:
- Нижняя граница: z = 0
- Верхняя граница: z = x² + y²
Шаг 3: Проекция на плоскость xy
Теперь нам нужно найти проекцию области Ω на плоскость xy. Это будет круг, описанный уравнением цилиндра:
- (x - 1)² + y² ≤ 1
Это неравенство описывает круг радиусом 1, центрированный в точке (1, 0) на плоскости xy.
Шаг 4: Определение области Ω
Таким образом, область Ω в пространстве ограничена:
- Цилиндром: (x - 1)² + y² ≤ 1
- Плоскостью: z = 0
- Параболоидом: z = x² + y²
Это означает, что Ω - это часть пространства, находящаяся между плоскостью z = 0 и параболоидом z = x² + y², в пределах круга радиусом 1, центрированного в точке (1, 0).
Ответ: Область Ω ограничена цилиндром (x - 1)² + y² ≤ 1, плоскостью z = 0 и параболоидом z = x² + y².