Каково доказательство основной теоремы дифференциального исчисления?

Математика Университет Основная теорема дифференциального исчисления доказательство основная теорема дифференциальное исчисление математика теорема исчисление математика 13 Новый

Основная теорема дифференциального исчисления (также известная как основная теорема анализа) связывает понятия производной и интеграла. Доказательство этой теоремы состоит из нескольких ключевых шагов. Давайте рассмотрим основные моменты, которые помогут понять это доказательство.

1. Постановка задачи:

   Основная теорема дифференциального исчисления утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то существует такая функция F, что F' = f и F(b) - F(a) = ∫(a, b) f(x) dx.

2. Определение функции F:

   Мы определяем функцию F(x) как определенный интеграл от f на отрезке [a, x]: F(x) = ∫(a, x) f(t) dt. Эта функция F будет непрерывной и дифференцируемой на интервале (a, b).

3. Применение теоремы о среднем значении:

   Для доказательства, что F'(x) = f(x), мы можем использовать теорему о среднем значении. Для этого возьмем два значения x и x + h, где h - малое положительное число. Тогда по определению производной:

   • F'(x) = lim (h -> 0) [F(x + h) - F(x)] / h.
   • F(x + h) = ∫(a, x + h) f(t) dt и F(x) = ∫(a, x) f(t) dt.
   • Поэтому F(x + h) - F(x) = ∫(x, x + h) f(t) dt.
4. Использование свойства интеграла:

   Теперь подставим это в формулу для производной:

   • F'(x) = lim (h -> 0) [∫(x, x + h) f(t) dt] / h.
   • По свойству интегралов, это можно записать как: F'(x) = f(c) для некоторого c в (x, x + h).

   Когда h стремится к 0, c также стремится к x, и, если f непрерывна в x, то f(c) стремится к f(x).

5. Заключение:

   Таким образом, мы получаем, что F'(x) = f(x), что и требовалось доказать. Это завершает доказательство основной теоремы дифференциального исчисления.

Основная теорема дифференциального исчисления является важным результатом, который связывает два основных понятия анализа: производные и интегралы. Она показывает, что интегрирование и дифференцирование являются обратными процессами.