Решение задач по теме "Дифференциал функции" можно разбить на несколько основных шагов. Давайте рассмотрим их на примере функции f(x) = 5x³ - x² + 3.

Первым шагом является нахождение производной функции f(x). Производная функции показывает, как изменяется функция при изменении аргумента x.

1. Для функции f(x) = 5x³ - x² + 3, найдем производную f'(x):
2. f'(x) = 15x² - 2x.

Теперь нужно выбрать точку x0, в которой мы будем вычислять дифференциал и приближенное значение функции. Например, пусть x0 = 1.

Теперь подставим x0 в производную, чтобы найти значение производной в этой точке:

1. f'(1) = 15(1)² - 2(1) = 15 - 2 = 13.

Формула для изменения функции в окрестности точки x0 выглядит следующим образом:

∆f(x, x0) = f'(x0) * (x - x0).

Теперь подставим наши значения:

1. ∆f(x, 1) = 13 * (x - 1).

Теперь можем выразить приближенное значение функции f(x) в окрестности x0:

f(x) ≈ f(x0) + ∆f(x, x0).

Сначала найдем f(1):

1. f(1) = 5(1)³ - (1)² + 3 = 5 - 1 + 3 = 7.

Теперь подставим в приближенную формулу:

1. f(x) ≈ 7 + 13 * (x - 1).

Чтобы оценить погрешность, необходимо учитывать, что приближение по формуле Тейлора является линейным. Погрешность будет зависеть от второго производного, если она существует. Найдем вторую производную:

1. f''(x) = 30x - 2.
2. f''(1) = 30(1) - 2 = 28.

Оценка погрешности может быть выполнена через второй член разложения Тейлора:

Оценка погрешности ≈ (1/2) * |f''(ξ)| * (x - x0)², где ξ находится между x и x0.

Таким образом, мы можем оценить погрешность для конкретного значения x.

В заключение, основные шаги для решения задач по теме "Дифференциал функции" включают нахождение производной, выбор точки, вычисление изменения функции и оценку погрешности. Используя эти шаги, вы сможете эффективно применять формулу Тейлора для приближенных вычислений.