Для решения задачи нам нужно вычислить интеграл:

I = ∫_γ (Im z - z + 2z̄) dz

где γ - это часть параболы, соединяющая точки z₁ = 0 и z₂ = 2i - 3. Давайте разберемся с каждым шагом по порядку.

Шаг 1: Определение параболы

• Поскольку парабола симметрична относительно мнимой оси и имеет вершину в точке z₁ = 0, ее уравнение можно записать в виде: z = a(x^2) + bi, где a - коэффициент, который определяет "ширину" параболы, а b - мнимая часть, которая в данном случае будет равна 0, так как вершина в начале координат.
• Итак, у нас есть z = ax^2, где x - действительная часть.

Шаг 2: Определение координат точек

• Точка z₁ = 0 имеет координаты (0, 0).
• Точка z₂ = 2i - 3 имеет координаты (-3, 2).

Шаг 3: Определение параметризации параболы

Мы можем параметризовать нашу параболу следующим образом:

z(t) = at^2 + it, где t - действительная часть, изменяющаяся от 0 до -3. Теперь определим a, чтобы парабола проходила через точку (-3, 2).

Подставим t = -3 в уравнение:

-3 = a(-3)^2 + i(-3) = 9a - 3i.

Из этого уравнения получаем: 9a = -3, откуда a = -1/3.

Таким образом, у нас есть уравнение параболы:

z(t) = -1/3 t^2 + it.

Шаг 4: Вычисление производной dz

Теперь найдем производную dz:

dz/dt = (-2/3)t + i.

Тогда dz = [(-2/3)t + i] dt.

Шаг 5: Подстановка в интеграл

Теперь подставим z(t) и dz в интеграл:

I = ∫_0^{-3} [Im(z(t)) - z(t) + 2z̄(t)] dz.

Имейте в виду, что Im(z(t)) = t, z(t) = -1/3 t^2 + it, и z̄(t) = -1/3 t^2 - it.

Теперь подставим все это в интеграл:

I = ∫_0^{-3} [t - (-1/3 t^2 + it) + 2(-1/3 t^2 - it)] dz.

Упрощая выражение, получаем:

I = ∫_0^{-3} [t + 1/3 t^2 - it - 2/3 t^2 + 2it] dt.

I = ∫_0^{-3} [t - 1/3 t^2 + it] dt.

Шаг 6: Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

I = ∫_0^{-3} [t - 1/3 t^2 + it] dt = ∫_0^{-3} t dt - (1/3) ∫_0^{-3} t^2 dt + i ∫_0^{-3} dt.

Вычисляем каждый из интегралов:

• ∫_0^{-3} t dt = [t^2/2]_0^{-3} = 9/2.
• ∫_0^{-3} t^2 dt = [t^3/3]_0^{-3} = 27/3 = 9.
• ∫_0^{-3} dt = [-3]_0 = -3.

Теперь подставим все обратно:

I = (9/2) - (1/3)(9) + i(-3) = (9/2) - 3 - 3i = (9/2 - 6) - 3i = (9/2 - 12/2) - 3i = -3/2 - 3i.

Ответ: I = -3/2 - 3i.