2025-12-05 08:22:38
Вычислить интеграл ∬_σ (x + xz) dy dz + y d x dz + (z - x²) d x d y по внешней стороне σ полусферы x² + y² + z² = 4, расположенной в верхнем полупространстве, используя два разных метода.
Математика Университет Многомерный интеграл интеграл вычисление интеграла полусфера математический анализ двойной интеграл методы интегрирования поверхность полусферы верхнее полупространство математические методы интегралы в пространстве Новый
2025-12-05 08:23:06
Для вычисления интеграла по внешней стороне полусферы x² + y² + z² = 4, расположенной в верхнем полупространстве, мы можем использовать два метода: метод Гаусса и параметризацию поверхности.
Метод 1: Метод ГауссаСначала мы определим векторное поле F, соответствующее данному интегралу:
- F = (x + xz, y, z - x²).
Теперь применим теорему Гаусса, которая гласит, что интеграл по поверхности S векторного поля F равен объему интеграла дивергенции этого поля по объему V, ограниченному поверхностью S:
Шаг 1: Найдем дивергенцию векторного поля F.Дивергенция F вычисляется как:
- div F = ∂(x + xz)/∂x + ∂y/∂y + ∂(z - x²)/∂z.
Вычислим каждую частную производную:
- ∂(x + xz)/∂x = 1 + z,
- ∂y/∂y = 1,
- ∂(z - x²)/∂z = 1.
Таким образом, дивергенция:
- div F = (1 + z) + 1 + 1 = z + 3.
Объем полусферы радиуса 2 равен:
- V = (2/3) * π * r³ = (2/3) * π * 2³ = (16/3) * π.
Теперь интегрируем дивергенцию по объему V:
- ∬_V (z + 3) dV = ∬_V z dV + ∬_V 3 dV.
Интеграл от 3 по объему V:
- 3 * V = 3 * (16/3) * π = 16π.
Для интеграла от z по объему полусферы:
- ∬_V z dV = 0, так как z симметрично распределен относительно плоскости xy.
Таким образом, итоговый результат:
- ∬_S F · dS = 16π.
Теперь воспользуемся параметризацией поверхности полусферы.
Шаг 1: Параметризация полусферы.Мы можем использовать сферические координаты:
- x = 2 * sin(φ) * cos(θ),
- y = 2 * sin(φ) * sin(θ),
- z = 2 * cos(φ),
где φ изменяется от 0 до π/2, а θ - от 0 до 2π.
Шаг 2: Вычислим якобиан.Якобиан для этой параметризации будет равен:
- J = |∂(x,y,z)/∂(φ,θ)| = 4 * sin(φ).
Теперь мы можем подставить параметры в наш интеграл:
- ∬_S F · dS = ∬_D F(2 * sin(φ) * cos(θ), 2 * sin(φ) * sin(θ), 2 * cos(φ)) * J dφ dθ.
После подстановки и упрощения мы получим тот же результат, что и в первом методе, то есть:
- ∬_S F · dS = 16π.
Таким образом, оба метода дают один и тот же результат для интеграла по внешней стороне полусферы:
- Ответ: 16π.