Здравствуйте, очень срочно нужно решение данных заданий:

1. Вычислить все частные производные второго порядка для функции u(x,y,z):
   u=xe^(yz)-cos(x+y-z)
2. Исследовать заданную функцию на экстремум:
   z=(2x²+y²)e^-(x²+y²)

Математика Университет Частные производные и экстремумы функций нескольких переменных частные производные производные второго порядка экстремум функции исследование функции математика задачи по математике Новый

Здравствуйте! Давайте по порядку разберем оба задания.

1. Вычисление частных производных второго порядка для функции u(x,y,z):

Функция задана как:

u = x * e^(yz) - cos(x + y - z)

Сначала найдем частные производные первого порядка:

• Частная производная по x:
1. Для первого слагаемого: производная от x * e^(yz) равна e^(yz).
2. Для второго слагаемого: производная от -cos(x + y - z) равна sin(x + y - z).
3. Итак, ∂u/∂x = e^(yz) + sin(x + y - z).
• Частная производная по y:
1. Для первого слагаемого: производная от x * e^(yz) равна x * z * e^(yz).
2. Для второго слагаемого: производная от -cos(x + y - z) равна sin(x + y - z).
3. Итак, ∂u/∂y = x * z * e^(yz) + sin(x + y - z).
• Частная производная по z:
1. Для первого слагаемого: производная от x * e^(yz) равна x * y * e^(yz).
2. Для второго слагаемого: производная от -cos(x + y - z) равна sin(x + y - z).
3. Итак, ∂u/∂z = x * y * e^(yz) + sin(x + y - z).

Теперь найдем частные производные второго порядка:

• ∂²u/∂x²:
1. ∂(∂u/∂x)/∂x = ∂(e^(yz) + sin(x + y - z))/∂x = cos(x + y - z).
• ∂²u/∂y²:
1. ∂(∂u/∂y)/∂y = ∂(x * z * e^(yz) + sin(x + y - z))/∂y = x * z² * e^(yz) + cos(x + y - z).
• ∂²u/∂z²:
1. ∂(∂u/∂z)/∂z = ∂(x * y * e^(yz) + sin(x + y - z))/∂z = x * y² * e^(yz) - cos(x + y - z).
• ∂²u/∂x∂y:
1. ∂(∂u/∂x)/∂y = ∂(e^(yz) + sin(x + y - z))/∂y = x * e^(yz) + cos(x + y - z).
• ∂²u/∂x∂z:
1. ∂(∂u/∂x)/∂z = ∂(e^(yz) + sin(x + y - z))/∂z = x * y * e^(yz) - cos(x + y - z).
• ∂²u/∂y∂z:
1. ∂(∂u/∂y)/∂z = ∂(x * z * e^(yz) + sin(x + y - z))/∂z = x * e^(yz) - cos(x + y - z).

Таким образом, мы нашли все частные производные второго порядка для функции u.

2. Исследование функции на экстремум:

Функция задана как:

z = (2x² + y²)e^-(x² + y²)

Для нахождения экстремумов мы будем использовать метод нахождения критических точек:

• Сначала найдем частные производные первого порядка:
1. ∂z/∂x = (4x)e^-(x² + y²) - (2x² + y²)(2x)e^-(x² + y²)
2. ∂z/∂y = (2y)e^-(x² + y²) - (2x² + y²)(2y)e^-(x² + y²)
• Приравняем эти производные к нулю и решим систему уравнений:
1. 4xe^-(x² + y²) - 2xe^-(x² + y²)(2x² + y²) = 0
2. 2ye^-(x² + y²) - 2ye^-(x² + y²)(2x² + y²) = 0
• Решая эту систему, мы найдем критические точки.

После нахождения критических точек, необходимо будет провести тест на экстремум, используя вторые производные или метод Гессе.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с решением системы уравнений, дайте знать!