Давайте разберем каждое предложение и найдем в них грамматические основы. Грамматическая основа состоит из подлежащего и сказуемого, которые могут быть простыми или сложными. Мы будем указывать ПГС (простая грамматическая основа) и СГС (сложная грамматическая основа) для каждого предложения.
    - 
        Он боялся идти к врачам.
        
            - ПГС: Он боялся
- СГС: Он боялся идти к врачам
 
- 
        Приходил лакей звать меня к княгине.
        
            - ПГС: Лакей приходил
- СГС: Лакей приходил звать меня к княгине
 
- 
        Старуха ушла хлопотать об отъезде.
        
            - ПГС: Старуха ушла
- СГС: Старуха ушла хлопотать об отъезде
 
- 
        Он попросил меня похлопотать об отъезде.
        
            - ПГС: Он попросил
- СГС: Он попросил меня похлопотать об отъезде
 
- 
        Великий национальный поэт умеет заставить говорить и барина, и мужика их языком.
        
            - ПГС: Поэт умеет
- СГС: Поэт умеет заставить говорить и барина, и мужика их языком
 
- 
        Я уважению к родной земле учить их стараюсь.
        
            - ПГС: Я стараюсь
- СГС: Я стараюсь учить их уважению к родной земле
 
- 
        Ни при каких усилиях человек не сможет передать очарование этого дня.
        
            - ПГС: Человек не сможет
- СГС: Человек не сможет передать очарование этого дня
 
- 
        В Москве я не буду ни видеть вас, ни писать вам, ни звонить.
        
            - ПГС: Я не буду
- СГС: Я не буду ни видеть вас, ни писать вам, ни звонить
 
- 
        Редкие капли дождя начали тяжело стучать по земле.
        
            - ПГС: Капли начали
- СГС: Капли начали тяжело стучать по земле
 
- 
        Долго будет моросить осенний дождь.
        
            - ПГС: Дождь будет
- СГС: Дождь будет моросить
 
Таким образом, мы проанализировали каждое предложение и выделили грамматические основы. Это поможет вам лучше понять структуру предложений и их составные части.