1. (за) что благодарить

Здесь "за" - это предлог, который не требует написания "н" или "нн". Поэтому правильно: "за что благодарить".

2. не (за) что не благодарил

В этом случае "не за" также является предлогом. Поэтому правильно: "не за что не благодарил".

3. (н..) когда болтать

Здесь слово "некогда" подразумевается. Поэтому правильно: "некогда болтать".

4. (н..) кому нельзя верить

Правильный вариант - "некому верить", так как здесь подразумевается отсутствие лица, которому можно доверять.

5. (н..) куда спешить

Правильный вариант - "некуда спешить", так как подразумевается отсутствие направления.

6. (н..) какой благодарности

Здесь будет правильно "некой благодарности", так как подразумевается некая степень благодарности.

7. н.. (на) что купить

Правильный вариант - "некуда купить", подразумевается отсутствие объекта покупки.

8. н.. (на) что не смотрит

Правильный вариант - "нна что не смотрит", так как подразумевается отсутствие внимания.

9. (н..) чем не притрагивался

Правильный вариант - "нечем не притрагивался", так как подразумевается отсутствие предмета.

10. н.. (за) что не скажет

Правильный вариант - "незачем не скажет", так как подразумевается отсутствие причины.

11. я здесь н.. (при) чем?

Правильный вариант - "я здесь ни при чем?", так как подразумевается отсутствие отношения к ситуации.

Таким образом, в каждом из случаев важно определять, какую роль играет "н" или "нн" в словосочетании, чтобы правильно его написать. Если у вас остались вопросы по конкретным случаям, не стесняйтесь задавать их!