Давайте разберем по членам предложения предложенные вами фразы. Начнем с первого предложения:

1. Вот дятел застучал по дереву своим длинным и крепким клювом.

• Вот - вводное слово, которое указывает на то, что мы обращаем внимание на дятла.
• дятел - подлежащее, отвечает на вопрос "Кто?".
• застучал - сказуемое, отвечает на вопрос "Что сделал?".
• по дереву - обстоятельство места, отвечает на вопрос "Где?".
• своим длинным и крепким клювом - обстоятельство, уточняющее, как именно дятел стучал. Здесь "своим" - определение к слову "клювом", а "длинным и крепким" - также определения, которые описывают клюв.

2. Он достает из-под коры дерева жуков и ест их.

• Он - подлежащее, отвечает на вопрос "Кто?".
• достает - сказуемое, отвечает на вопрос "Что делает?".
• из-под коры дерева - обстоятельство места, отвечает на вопрос "Откуда?".
• жуков - дополнение, отвечает на вопрос "Что?".
• и - союз, соединяет два сказуемых.
• ест - второе сказуемое, отвечает на вопрос "Что делает?".
• их - дополнение, отвечает на вопрос "Что?".

3. Люди называют дятла лесным доктором, ведь он лечит больные деревья.

• Люди - подлежащее, отвечает на вопрос "Кто?".
• называют - сказуемое, отвечает на вопрос "Что делают?".
• дятла - дополнение, отвечает на вопрос "Кого?".
• лесным доктором - именное сказуемое, отвечает на вопрос "Как называют?". Здесь "лесным" - определение к слову "доктором".

Теперь переходим ко второй части предложения:

• ведь - союз, который вводит пояснительное предложение.
• он - подлежащее, отвечает на вопрос "Кто?".
• лечит - сказуемое, отвечает на вопрос "Что делает?".
• больные деревья - дополнение, отвечает на вопрос "Что?". Здесь "больные" - определение к слову "деревья".

Таким образом, мы разобрали каждое предложение по членам. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!