Правильно: Сначала барашек залез до половины горы.

Пояснение — как учитель: разберём по шагам.

1. Не ставим скобки — предложение должно быть целым и понятным: «половины горы» — это часть фразы, а не уточнение в скобках.
2. Выбираем предлог. Если хотим сказать «дошёл до середины, до половины», используем предлог до. Он отвечает на вопрос «до чего?» и показывает предел движения.
3. После «до» существительное ставится в родительном падеже: «половины (чего?) горы». Поэтому правильно — «до половины горы».
4. Глагол «залез» подходит: «залез до половины горы» — значит «залазил вверх и остановился на половине горы». (Можно также сказать «забрался до половины горы».)

Важно: вариант «залез на половину горы» звучит странно и может быть непонятным — предлог «на» обычно требует винительного падежа и означает движение на поверхность или вершину («залез на вершину горы», «залез на дерево»), а не «дошёл до середины». Поэтому лучше использовать «до половины горы».