Чтобы правильно написать пропущенные буквы в предложении, давайте разберем каждое слово по порядку.

1. Бра(д/т) – здесь нужно выбрать букву "т", так как это форма глагола "брать". Правильный вариант: "Брат наш нашел на улицах бездомного щенка."
2. бе(з/с)домного – в этом слове пишется "з", так как это слово образовано от корня "дом" с приставкой "без". Правильный вариант: "бездомного".
3. щ..нка – здесь пропущена буква "е", так как слово "щенок" пишется с "е". Правильный вариант: "щенка".
4. М..лыш.. – в этом слове пропущены две буквы "а". Правильный вариант: "Малыш так грустно и доверчиво смотрел, что брат принёс его домой."
5. грус..но – здесь пропущена буква "т", так как слово "грустно" пишется с "т". Правильный вариант: "грустно".
6. д..верчиво – здесь пропущена буква "о", так как слово "доверчиво" пишется с "о". Правильный вариант: "доверчиво".
7. см..трел – здесь пропущена буква "о", так как слово "смотрел" пишется с "о". Правильный вариант: "смотрел".
8. д..мой – здесь пропущена буква "о", так как слово "домой" пишется с "о". Правильный вариант: "домой".
9. щ..нка – как мы уже разобрали, здесь тоже пропущена буква "е". Правильный вариант: "щенка".
10. (Л,л)ютиком – здесь нужно писать "л", так как имя "Лютик" начинается с заглавной буквы. Правильный вариант: "Лютиком".

Теперь соберем все вместе:

Брат наш нашел на улицах бездомного щенка. Малыш так грустно и доверчиво смотрел, что брат принёс его домой. Мы решили назвать щенка Лютиком.