Правило. В корне чередуются варианты лаг/лож (писать «лаг», если в корне стоит буква «а», и «лож», если в корне стоит «о»). Это видно в парах однокоренных глаголов: полагать — положить, располагать — расположить, излагать — изложить и т. п. Обратите внимание: смысловые различия тоже есть (лагать — действовать, ложить — класть/располагать), поэтому формы не всегда взаимозаменимы.

Спишите глаголы парами, объясняя правописание и составляя словосочетание.

• расположился — располагался; пишем «лож» в расположился (в корне — «о»), «лаг» в располагался (в корне — «а»). Словосочетание: расположился за столом.
• полагался — положился; пишем «лаг» в полагался (перед суффиксом -а-), «лож» в положился (в корне — «о»). Словосочетание: положился на друга.
• прилагал — приложил; «лаг» — прилагал (есть «а»), «лож» — приложил (есть «о»). Словосочетание: приложил усилие.
• излагал — изложил; «лаг» — излагал, «лож» — изложил. Словосочетание: изложил мысль.
• налагал — наложил; «лаг» — налагал (имперфект), «лож» — наложил (перфект). Словосочетание: наложил штраф.

Можно ли глагол «ложился» оставить без «-ся»?

Нет, нельзя просто отбросить «-ся», сохранив тот же смысл. Глагол «ложился» (от «ложиться» — садиться, принимать положение лёжа) является возвратным; без «-ся» форма «ложил» — это другой глагол (не возвратный, значение «кладал, помещал»). То есть при снятии «-ся» смысл и управление меняются, и часто получаем грамматически и семантически другое слово. Для обозначения действия «лечь, принять положение лёжа» можно подобрать другие формы: лежал, лёг (лечь/лечься не употребляется — правильно «лечь» (сов.), «ложиться» (неофиц.)).