Чтобы определить, какие из выделенных словосочетаний являются фразеологизмами, а какие - нет, давайте вспомним, что такое фразеологизм. Фразеологизм - это устойчивое словосочетание, значение которого нельзя понять, исходя из значений отдельных слов, входящих в него. Теперь рассмотрим каждую пару словосочетаний.

• Нельзя опускать руки перед трудностями.

  Это фразеологизм. Здесь "опускать руки" означает сдаваться, терять надежду. Смысл не сводится к буквальному значению слов.

• Опускай руки в тёплую воду.

  Это не фразеологизм. Здесь речь идет о буквальном действии - погружении рук в воду, и значение слов понятно.

• Старший сын - правая рука отца.

  Это фразеологизм. "Правая рука" здесь обозначает человека, который помогает и поддерживает, и значение не сводится к буквальному.

• Чаще правая рука сильнее, чем левая.

  Это не фразеологизм. Здесь идет речь о физических качествах рук, и значение слов вполне понятно.

• Оля положила книги на стол.

  Это не фразеологизм. Здесь используется обычное значение слов, и речь идет о конкретном действии.

• Он отлично играл в шахматы и легко мог положить на лопатки любого из нас.

  Это фразеологизм. "Положить на лопатки" означает победить, одержать верх над кем-то, и это значение не является буквальным.

Таким образом, фразеологизмы в приведенных словосочетаниях следующие:

• Нельзя опускать руки перед трудностями.
• Старший сын - правая рука отца.
• Он отлично играл в шахматы и легко мог положить на лопатки любого из нас.

А не являются фразеологизмами:

• Опускай руки в тёплую воду.
• Чаще правая рука сильнее, чем левая.
• Оля положила книги на стол.