Чтобы определить, какое из предложений не содержит лексической ошибки, давайте проанализируем каждое из них по отдельности.

1. Наш город — здравница, известная на всю страну.

   В этом предложении слово "здравница" используется правильно, обозначая место, где лечат людей. Оно уместно в контексте, и предложение звучит логично.

2. Мой кот был полным невежей в вопросах музыки.

   Слово "невежа" употребляется здесь неверно. Невежа — это человек, не обладающий знаниями в какой-либо области, и применять его к коту некорректно. Это предложение содержит лексическую ошибку.

3. Фильм моего друга получил приз зрительных симпатий на фестивале в Магадане.

   В этом предложении все слова употреблены корректно, и оно звучит логично. "Приз зрительских симпатий" — это распространенное выражение в мире кино, и оно используется правильно.

4. Василий — очень авторитарный представитель нашего сообщества.

   Слово "авторитарный" может быть использовано в негативном контексте, но само по себе оно не является ошибкой. Однако в данном контексте можно было бы выбрать более подходящее слово, например, "лидер" или "представительный". Тем не менее, это не лексическая ошибка.

Теперь подведем итоги:

• Первое предложение корректно.
• Второе предложение содержит лексическую ошибку.
• Третье предложение корректно.
• Четвертое предложение не содержит лексической ошибки, но слово "авторитарный" может быть воспринято неоднозначно.

Таким образом, правильные варианты без лексических ошибок — первое и третье предложения.