Чтобы выполнить синтаксический разбор предложения "Всюду беспокойная трескотня дроздов, и дятел очень устал искать живой корм для своих маленьких, присел вдали от них на ветке, просто отдохнуть", давайте разберем его на части и проанализируем структуру.
    - Определим основную мысль предложения: В данном предложении речь идет о том, что дятел устал и присел отдохнуть.
- Выделим главные члены предложения:
        
            - Подлежащее: "дятел"
- Сказуемое: "устал" и "присел"
 
- Разделим предложение на части:
        
            - Первая часть: "Всюду беспокойная трескотня дроздов" - это вводная конструкция, которая описывает обстановку.
- Вторая часть: "и дятел очень устал искать живой корм для своих маленьких" - это основная часть предложения с подлежащим и сказуемым.
- Третья часть: "присел вдали от них на ветке" - это обстоятельственный оборот, который уточняет действие.
- Четвертая часть: "просто отдохнуть" - это инфинитивный оборот, который указывает на цель действия.
 
Теперь давайте более подробно разберем каждую часть:
    - Первая часть: "Всюду беспокойная трескотня дроздов"
        
            - Подлежащее: "трескотня"
- Сказуемое: отсутствует, так как это вводное предложение.
- Обстоятельство места: "всюду"
- Определение: "беспокойная"
- Дополнение: "дроздов"
 
- Вторая часть: "и дятел очень устал искать живой корм для своих маленьких"
        
            - Подлежащее: "дятел"
- Сказуемое: "устал"
- Обстоятельство степени: "очень"
- Инфинитивный оборот: "искать живой корм для своих маленьких"
                
                    - Инфинитив: "искать"
- Дополнение: "корм"
- Определение: "живой"
- Дополнение: "для своих маленьких"
 
 
- Третья часть: "присел вдали от них на ветке"
        
            - Сказуемое: "присел"
- Обстоятельство места: "вдали от них"
- Обстоятельство места: "на ветке"
 
- Четвертая часть: "просто отдохнуть"
        
            - Инфинитив: "отдохнуть"
- Обстоятельство: "просто" (указывает на простоту действия)
 
Таким образом, мы видим, что предложение состоит из нескольких частей, каждая из которых выполняет свою синтаксическую функцию. Основные члены предложения - это подлежащее и сказуемое, которые определяют, о чем идет речь и что происходит в предложении.