Давайте разберем каждое предложение по порядку, расставим запятые и тире, а также объясним, почему мы сделали именно такие выборы.

1. Гости окружили Антона Пафнутьича, нашего знакомца, осыпали его вопросами.

   В этом предложении запятые ставятся перед приложением "нашего знакомца", которое уточняет, кто такой Антон Пафнутьич. Запятая перед "нашего знакомца" указывает на то, что это дополнительная информация, которая не является обязательной для понимания основного смысла предложения.

2. Как истинный француз, в кармане Трике, привёз куплет Татьяне.

   В этом предложении запятая перед "как истинный француз" ставится, так как это вводное выражение, которое поясняет, как именно Трика привёз куплет. Однако запятая после "Трике" не нужна, так как "в кармане Трике" является обстоятельственным выражением и не требует выделения. Правильный вариант: "Как истинный француз, в кармане Трике привёз куплет Татьяне."

3. Уже не раз доходили до меня слухи о Яшке Турке, лучшем певце в околотке.

   Запятая перед "лучшем певце в околотке" ставится, так как это приложение, которое уточняет, кто такой Яшка Турка. Приложение также является дополнительной информацией, которая не меняет основного смысла предложения.

4. Добродушный старичок, больничный сторож, тотчас же впустил его.

   В этом предложении запятая перед "больничный сторож" ставится, так как это приложение, которое уточняет, кто такой добродушный старичок. Запятая показывает, что это дополнительная информация, не влияющая на основное значение предложения.

5. Сын Хаджи-Мурата.

   В этом предложении запятая не требуется, так как оно состоит из подлежащего и сказуемого, и не содержит приложений или уточняющих оборотов.

Таким образом, в предложениях, где используются приложения, запятые ставятся для выделения уточняющей информации. Приложения помогают более точно определить, о ком или о чем идет речь, и обогащают текст дополнительными деталями.