Давайте разберем каждое предложение и вставим подходящие предлоги. Я объясню, почему я выбираю именно эти предлоги.

1. Сильные, ловкие и быстрые юноши Греции собирались ... города.

   В этом предложении нам нужен предлог, который указывает на место, куда собирались юноши. Правильный предлог - в, так как мы говорим о том, что они собирались внутри города. Получается: "Сильные, ловкие и быстрые юноши Греции собирались в города."

2. Они участвовали ... соревнованиях ... бегу, борьбе и стрельбе из.

   Здесь нам нужен предлог, который указывает на участие в соревнованиях. Подходит предлог в, так как мы говорим о соревнованиях, в которых они участвовали. Также перед перечислением видов спорта мы используем предлог в. Получается: "Они участвовали в соревнованиях в бегу, борьбе и стрельбе из."

3. Ат III победил в соревнованиях борьбе в 281 году.

   В этом предложении предлог не требуется, так как мы говорим о победе в соревнованиях. Правильный вариант: "Ат III победил в соревнованиях борьбе в 281 году."

4. В музее их игр в Греции сохранилась древняя мраморная доска ... именами.

   Здесь нам нужен предлог, который указывает на принадлежность. Подходит предлог с, так как мы говорим о доске, на которой написаны имена. Получается: "В музее их игр в Греции сохранилась древняя мраморная доска с именами."

5. ... этих имён есть и имя будущего царя Великой Армении.

   В этом предложении предлог не нужен, так как мы просто говорим о наличии имени среди других. Правильный вариант: "Среди этих имён есть и имя будущего царя Великой Армении."

6. В 385-ом году он стал чемпионом Олимпийских игр в ... кулачному бою.

   Здесь нам нужен предлог, который указывает на вид соревнования. Подходит предлог в. Получается: "В 385-ом году он стал чемпионом Олимпийских игр в кулачному бою."

7. В поединках по кулачному бою не было ... весу.

   В этом предложении нам нужен предлог, который указывает на отсутствие чего-то. Правильный предлог - по, так как мы говорим о весе в контексте правил поединков. Получается: "В поединках по кулачному бою не было по весу."

Итак, итоговые предложения с предлогами выглядят так:

• Сильные, ловкие и быстрые юноши Греции собирались в города.
• Они участвовали в соревнованиях в бегу, борьбе и стрельбе из.
• Ат III победил в соревнованиях борьбе в 281 году.
• В музее их игр в Греции сохранилась древняя мраморная доска с именами.
• Среди этих имён есть и имя будущего царя Великой Армении.
• В 385-ом году он стал чемпионом Олимпийских игр в кулачному бою.
• В поединках по кулачному бою не было по весу.