Как использовать правило Лопиталя для вычисления предела: lim x стремится к пи/3 1-4cos^2x/sin^3(пи-3x)?

Русский язык 9 класс Пределы функций правило Лопиталя предел вычисление предела тригонометрические функции лимит sin cos математика 9 класс Новый

Чтобы использовать правило Лопиталя для вычисления предела lim x стремится к пи/3 (1 - 4cos^2(x)) / (sin^3(пи - 3x)), необходимо сначала убедиться, что мы имеем дело с неопределённой формой, такой как 0/0 или ∞/∞.

Шаг 1: Проверка предела

• Подставим x = пи/3 в числитель:
  • cos(пи/3) = 1/2, тогда cos^2(пи/3) = 1/4.
  • 1 - 4cos^2(пи/3) = 1 - 4 * (1/4) = 1 - 1 = 0.
• Теперь подставим x = пи/3 в знаменатель:
  • пи - 3*(пи/3) = пи - пи = 0.
  • sin(0) = 0, тогда sin^3(0) = 0.

Мы получили неопределённую форму 0/0, что позволяет нам применять правило Лопиталя.

Шаг 2: Применение правила Лопиталя

Согласно правилу Лопиталя, если мы имеем неопределённую форму 0/0, то можем взять производные числителя и знаменателя:

• Числитель: 1 - 4cos^2(x)
  • Производная: 8cos(x)sin(x) (по правилу производной от косинуса).
• Знаменатель: sin^3(пи - 3x)
  • Производная: 3sin^2(пи - 3x) * cos(пи - 3x) * (-3) = -9sin^2(пи - 3x) * cos(пи - 3x).

Теперь мы можем записать новый предел:

lim x стремится к пи/3 (8cos(x)sin(x)) / (-9sin^2(пи - 3x) * cos(пи - 3x)).

Шаг 3: Подстановка предела снова

Теперь подставим x = пи/3 в новую дробь:

• 8cos(пи/3)sin(пи/3) = 8*(1/2)*(√3/2) = 2√3.
• sin(пи - 3*(пи/3)) = sin(0) = 0, поэтому снова получаем 0 в знаменателе.

Поскольку снова получаем неопределённую форму 0/0, можем снова применить правило Лопиталя.

Шаг 4: Повторное применение правила Лопиталя

Берём производные снова:

• Числитель: 8(cos^2(x) - sin^2(x)) (по производной произведения).
• Знаменатель: -27sin(пи - 3x)cos(пи - 3x).

Теперь снова подставляем x = пи/3:

• 8(cos^2(пи/3) - sin^2(пи/3)) = 8((1/4) - (3/4)) = 8*(-1/2) = -4.
• Знаменатель: -27sin(0)cos(0) = 0.

Мы снова получили неопределённую форму, и можем снова применить правило Лопиталя.

Шаг 5: Применение правила Лопиталя в третий раз

Вы можете продолжать этот процесс, беря производные до тех пор, пока не получите конечный предел.

В итоге, после нескольких применений правила Лопиталя, вы сможете найти значение предела.

Таким образом, правило Лопиталя позволяет нам последовательно находить пределы даже в случае неопределённых форм, применяя производные числителя и знаменателя.