Давайте разберем каждое из предложенных словосочетаний и определим падежи имён существительных и прилагательных в них.
    - 
        На птичьих головках
        
            - Слово "головках" - это существительное, которое стоит в предложном падеже, так как оно отвечает на вопрос "о чем?" (на каких головках?).
- Слово "птичьих" - это прилагательное, которое также стоит в предложном падеже, согласуясь с существительным "головках".
 
- 
        У соловьиного гнезда
        
            - Слово "гнезда" - это существительное в родительном падеже, так как оно отвечает на вопрос "чего?" (у какого гнезда?).
- Слово "соловьиного" - это прилагательное, которое также стоит в родительном падеже, согласуясь с существительным "гнезда".
 
- 
        По шёлковым пёрышкам
        
            - Слово "пёрышкам" - это существительное в дательном падеже, так как оно отвечает на вопрос "кому?" или "чему?" (по каким пёрышкам?).
- Слово "шёлковым" - это прилагательное, которое также стоит в дательном падеже, согласуясь с существительным "пёрышкам".
 
- 
        По шёлковой ткани
        
            - Слово "ткани" - это существительное в дательном падеже, так как оно отвечает на вопрос "кому?" или "чему?" (по какой ткани?).
- Слово "шёлковой" - это прилагательное, которое также стоит в дательном падеже, согласуясь с существительным "ткани".
 
Таким образом, мы определили падежи для всех словосочетаний:
    - На птичьих головках: предложный падеж.
- У соловьиного гнезда: родительный падеж.
- По шёлковым пёрышкам: дательный падеж.
- По шёлковой ткани: дательный падеж.