Чтобы определить, какое из предложений содержит простое глагольное сказуемое, давайте вспомним, что простое глагольное сказуемое состоит из одного глагола, который выражает действие или состояние подлежащего.

Теперь рассмотрим каждое из предложений:

• Во время болезни он не мог ни есть, ни пить.

  Здесь сказуемое "не мог" состоит из одного глагола "мог", но также включает частицу "не" и дополнения "есть" и "пить". Это сложное сказуемое, так как включает в себя несколько действий.

• Эта идея стала мне казаться не такой уж и плохой.

  В этом предложении сказуемое "стала казаться" состоит из двух глаголов: "стала" и "казаться". Это тоже сложное сказуемое.

• Другу была необходима помощь врача.

  Здесь сказуемое "была необходима" включает глагол "была" и прилагательное "необходима", что также делает его сложным.

• Самые интересные сны снятся обыкновенно под утро.

  В этом предложении сказуемое "снятся" состоит из одного глагола. Это простое глагольное сказуемое.

Таким образом, правильный ответ: Самые интересные сны снятся обыкновенно под утро. Это предложение содержит простое глагольное сказуемое.