В данном задании необходимо определить предложение, в котором "не" с последующим словом пишется слитно. Для этого рассмотрим каждое предложение и выделим случаи, когда "не" пишется раздельно.
    - (Не)доедала кашу, чтобы остатки отдать щенку. - "не" пишется раздельно.
- Теперь (не)легкое беспокойство, а нечто похожее на тревогу обуяло меня. - "не" пишется слитно.
- Остался ящик с рукописями, никому (не)нужными. - "не" пишется раздельно.
- Чего только (не)услышишь, когда все матросы соберутся в кубрике. - "не" пишется раздельно.
- В книге рассказано о судьбе (не)счастной старухи. - "не" пишется слитно.
Следующее предложение, где "не" пишется слитно:
    - Этот фильм вовсе (не)интересен. - "не" пишется слитно.
- (Не)прекращающиеся дожди нарушили все наши планы. - "не" пишется слитно.
- По ночам он почти (не)спал. - "не" пишется раздельно.
- Так может сделать только человек, (не)думающий о пользе леса. - "не" пишется слитно.
- Ситец (не)дорогой, а дешевый. - "не" пишется раздельно.
Продолжая анализировать, можно заметить, что:
    - Это был никому (не)известный артист. - "не" пишется слитно.
- Часто (не)достаёт решительности, чтобы отстоять свои убеждения. - "не" пишется раздельно.
- Мне пришлось пережить (не)поддающийся описанию ужас. - "не" пишется слитно.
- В нем (не)было ни совести, ни доброты, ни честности. - "не" пишется раздельно.
- Никто (не)мог назвать его злым человеком. - "не" пишется раздельно.
Таким образом, предложение, где "не" пишется слитно, это:
Теперь не легкое беспокойство, а нечто похожее на тревогу обуяло меня.
Слово: легкое