Давайте разберем каждое предложение, расставим запятые и тире, а также объясним, почему мы это делаем.

1. Гости, оружили Антона Пафнутьевича, нашего знакомца, осыпали его вопросами.
   Здесь запятые ставятся для выделения приложения "нашего знакомца", которое уточняет, кто такой Антон Пафнутьевич. Также запятая перед "оружили" не нужна, так как это не вводное слово. Правильный вариант: Гости оружили Антона Пафнутьевича, нашего знакомца, осыпали его вопросами.
2. Как истинный француз, в кармане Трике, привёз куплет Татьяне.
   Здесь запятые неправильно расставлены. "Как истинный француз" - это вводное выражение, а "в кармане Трике" - дополнение, которое не требует обособления. Правильный вариант: Как истинный француз в кармане Трике, привёз куплет Татьяне.
3. Уже не раз доходили до меня слухи о Яшке Турке, лучшем певце в околотке.
   Запятая перед "лучшим певце в околотке" нужна, так как это приложение, поясняющее, кто такой Яшка Турка. Правильный вариант: Уже не раз доходили до меня слухи о Яшке Турке, лучшем певце в околотке.
4. Добродушный старичок, больничный сторож, тотчас же впустил его.
   Здесь запятая перед "больничный сторож" обособляет приложение, уточняющее, кто такой добродушный старичок. Правильный вариант: Добродушный старичок, больничный сторож, тотчас же впустил его.
5. Сын Хаджа-Мурата, всемнадцатилетний юноша Юсуф, сидел в темнице.
   Запятая перед "всемнадцатилетний юноша Юсуф" обособляет приложение, которое уточняет, кто такой сын Хаджа-Мурата. Правильный вариант: Сын Хаджа-Мурата, всемнадцатилетний юноша Юсуф, сидел в темнице.
6. Такие люди, какие-то прирождённые философы-оптимисты.
   Здесь запятая не нужна, так как это однородные члены предложения. Правильный вариант: Такие люди какие-то прирождённые философы-оптимисты.
7. Родина Макара, глухая слободка Чалган, затерялась в далёкой якутской тайге.
   Запятые обособляют приложение "глухая слободка Чалган", уточняющее, что такое "родина Макара". Правильный вариант: Родина Макара, глухая слободка Чалган, затерялась в далёкой якутской тайге.
8. Длинный, костлявый мордвин Лёнька, по прозвищу Народец, молодой парень с маленькими изученными глазками, опустил топор и стоит, открыв рот.
   Запятые обособляют приложение "по прозвищу Народец", уточняющее, кто такой Лёнька. Правильный вариант: Длинный, костлявый мордвин Лёнька, по прозвищу Народец, молодой парень с маленькими изученными глазками, опустил топор и стоит, открыв рот.
9. Особенно грустное чувство возбуждает серый осиновый сруб с дырами вместо окон, остаток прежнего барского дома.
   Здесь запятая перед "остаток прежнего барского дома" не нужна, так как это не приложение, а часть сложного сказуемого. Правильный вариант: Особенно грустное чувство возбуждает серый осиновый сруб с дырами вместо окон, остаток прежнего барского дома.

В заключение, приложение - это слово или группа слов, которые уточняют или поясняют имя существительное. Они обособляются запятыми, если стоят после определяемого слова. Это помогает читателю лучше понять, о ком или о чем идет речь.