Неравенство — это утверждение о сравнении двух выражений с помощью знаков <, >, ≤, ≥. В отличие от уравнений, где мы ищем точные значения переменной, решение неравенства — это, как правило, множество чисел, при подстановке которых верно сравнение. Например, неравенство x > 3 означает «все числа больше 3», и решением будет не одно число, а целый луч на числовой прямой. В школьной практике 7 класса чаще всего встречаются линейные неравенства вида ax + b < c, а также их системы. Важно уметь отличать строгие неравенства (<, >) от нестрогих (≤, ≥): в первых граница не включается, во вторых — включается.

Чтобы уверенно решать неравенства, нужно понимать язык математических знаков. Читаем так: «меньше», «больше», «меньше либо равно», «больше либо равно». На числовой прямой мы изображаем решения графически: для строгих неравенств используем пустую (незакрашенную) точку на границе и направляем луч в нужную сторону; для нестрогих — закрашенную точку с лучом. Например, x ≥ -2 изображается закрашенной точкой в -2 и лучом вправо. Очень полезно владеть языком интервалов: (-∞; 5) — все числа меньше 5, [1; 3] — отрезок от 1 до 3, (0; +∞) — луч от 0 вправо, 0 не включён. Эти записи удобны для краткого ответа и проверки результатов.

Ключ к теме — эквивалентные преобразования неравенств, то есть действия, которые не меняют множество решений. Основные правила такие:

• К обоим частям неравенства можно прибавлять или вычитать одно и то же число — знак неравенства не меняется. Пример: x - 7 > 2 эквивалентно x > 9.
• Можно умножать или делить обе части на одно и то же положительное число — знак сохраняется. Пример: 3x ≤ 12 эквивалентно x ≤ 4.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Пример: -2x > 8 эквивалентно x < -4.
• Скобки раскрываем по тем же правилам, что и в уравнениях, внимательно следя за знаками, особенно если перед скобками минус.
• Если в неравенстве встречается дробь с переменной в знаменателе, помним про область допустимых значений (ОДЗ): значения, при которых знаменатель обращается в ноль, исключаются из рассмотрения.

Алгоритм решения линейного неравенства с одной переменной можно сформулировать пошагово. Пусть дано неравенство вида ax + b > c. Тогда:

1. Соберите все слагаемые с x в одной части, а числа — в другой, выполняя допустимые преобразования. Пример: ax + b > c превращаем в ax > c - b.
2. Разделите обе части на коэффициент при x. Если делите на положительное число — знак сохраняется, если на отрицательное — переворачивается.
3. Запишите ответ в виде интервала или луча, при необходимости изобразите на числовой прямой.
4. Сделайте проверку — подставьте в исходное неравенство число из найденного множества решений и число, не входящее в него, чтобы убедиться в корректности вывода.

Рассмотрим подробные примеры. Пример 1: решить 5x - 7 ≥ 3x + 9. Перенесём слагаемые с x влево, числа вправо: 5x - 3x ≥ 9 + 7, получаем 2x ≥ 16. Делим на 2 (положительное число): x ≥ 8. Ответ: [8; +∞). Проверим: возьмём x = 8 — 5·8 - 7 = 33, 3·8 + 9 = 33, 33 ≥ 33 верно; возьмём x = 7 — 28 - 7 = 21, 21 ≥ 30 неверно, значит, всё правильно. Пример 2: решить -3(2x - 5) > 9. Сначала раскроем скобки: -6x + 15 > 9. Перенесём: -6x > 9 - 15, получаем -6x > -6. Делим на -6 (отрицательное!), не забывая сменить знак: x < 1. Ответ: (-∞; 1). Проверка: x = 0 подходит? -3(0 - 5) = 15 > 9, да. x = 2? -3(4 - 5) = 3 > 9 нет, значит действительно x меньше 1.

Часто встречаются примеры со скобками и дробями. Пример 3: решить (x - 4)/2 ≤ 3. Домножим обе части на положительное число 2: x - 4 ≤ 6. Тогда x ≤ 10, ответ: (-∞; 10]. Пример 4: решить 2 - (3x - 5) ≥ 1. Сначала раскрываем скобки: 2 - 3x + 5 ≥ 1, то есть -3x + 7 ≥ 1. Переносим: -3x ≥ 1 - 7, получаем -3x ≥ -6. Делим на -3 и меняем знак: x ≤ 2. Обратите внимание, что ошибки чаще всего возникают на шаге деления на отрицательное число и при раскрытии скобок с минусом — будьте особенно внимательны к этим местам.

Решение систем неравенств основано на операциях с множествами. Система с союзом «и» означает пересечение множеств решений, то есть нужно, чтобы одновременно выполнялись оба условия. Пример: x > 2 и x ≤ 5. На числовой прямой это интервал (2; 5] — точка 2 не входит (строгое неравенство), а 5 входит. Система с союзом «или» означает объединение решений — достаточно выполнения хотя бы одного условия. Пример: x ≤ -1 или x ≥ 3. Ответ: (-∞; -1] ∪ [3; +∞). Удобна и запись «двойных неравенств». Пример: решить 2 < 3x + 1 ≤ 10. Действуем с тремя частями одновременно: вычтем 1: 1 < 3x ≤ 9; разделим на 3: 1/3 < x ≤ 3. Ответ: (1/3; 3]. В таких задачах особенно важно выполнять одно и то же преобразование ко всем трём частям, сохраняя порядок знаков и не забывая про смену знака при делении на отрицательное число.

Если переменная попала в знаменатель, нужно учитывать ОДЗ и внимательнее анализировать знак выражения. Пример: решить (x - 1)/(x + 2) ≤ 0. Шаги:

1. ОДЗ: x ≠ -2 (нельзя делить на ноль).
2. Нули числителя и знаменателя: числитель x - 1 = 0 при x = 1; знаменатель x + 2 = 0 при x = -2.
3. Отметим -2 и 1 на числовой прямой и протестируем знаки на интервалах: (-∞; -2), (-2; 1), (1; +∞).
4. Проверка точек: x = -3 дает ( -4 )/( -1 ) = 4 > 0 — не подходит; x = 0 дает ( -1 )/2 < 0 — подходит; x = 2 дает 1/4 > 0 — не подходит.
5. Учитывая знак ≤ 0, ноль числителя (x = 1) включаем, а точку x = -2 исключаем по ОДЗ. Итог: решение (-2; 1].

Такой подход часто называют «интервальным методом» или «методом знаков». В 7 классе он вводится на простых примерах, но он очень полезен и для дальнейшего обучения, поэтому тренируйтесь отмечать критические точки и проверять знаки на интервалах.

Полезно знать базовые неравенства с модулем, так как модуль описывает расстояние на числовой прямой. Правило: |x - a| < b (b > 0) означает, что x находится на расстоянии меньше b от точки a, то есть a - b < x < a + b. Пример: |2x - 5| < 3. Перейдём к двойному неравенству: -3 < 2x - 5 < 3. Прибавим 5: 2 < 2x < 8. Разделим на 2: 1 < x < 4. Ответ: (1; 4). Для нестрогого варианта |x + 1| ≥ 2 получаем два случая: x + 1 ≥ 2 или x + 1 ≤ -2, отсюда x ≥ 1 или x ≤ -3. Ответ: (-∞; -3] ∪ [1; +∞). Геометрическая интерпретация помогает быстро проверить логику решений: расстояние от -1 не меньше 2 — это действительно две «дальние» области.

В текстовых задачах важно уметь переводить русские формулировки в язык математики. Устойчивые выражения: «не менее» — ≥, «не более» — ≤, «больше» — >, «меньше» — <, «как минимум» — ≥, «не превышает» — ≤. Пример: билет стоит 350 рублей, у ученика есть s рублей, ему «не хватает 100 рублей» — значит, s + 100 ≥ 350, откуда s ≥ 250. Пример с количеством: «Чтобы купить наборы по 8 тетрадей, нужно не менее 50 тетрадей» — 8n ≥ 50, n ≥ 6.25, следовательно, целых наборов нужно как минимум 7. Пример с процентажом: «Скидка 20% — цена стала не более 800 рублей» — 0.8p ≤ 800, p ≤ 1000, где p — исходная цена. Такие задачи тренируют умение составлять и решать неравенства в реальном контексте.

Разберём типичные ошибки и как их избежать:

• Забыли поменять знак при делении или умножении на отрицательное число. Лекарство: каждый раз вслух проговаривайте действие и проверяйте знак.
• Неправильно раскрыли скобки при минусе перед ними. Совет: добавляйте «1» мысленно: -(a + b) = -1·a + -1·b.
• Поделили на переменную, не учтя её знак. Деление на выражение с переменной возможно только с разбором случаев (например, если x > 0 или x < 0), в 7 классе лучше избегать таких шагов и приводить всё к делению на число.
• Игнорирование ОДЗ в дробных неравенствах: знаменатель не может быть нулём, такие точки всегда исключаются из ответа.
• Неверное включение/исключение границ: при строгих знаках границы не включаются, при нестрогих — включаются, если не запрещает ОДЗ.
• Отсутствие проверки. Простая подстановка контрольных значений помогает сразу обнаружить промахи.

Как оформлять и проверять ответ. После вычислений запишите множество решений в виде интервального обозначения и, по возможности, изобразите на числовой прямой. Например, для x ≤ 5 — ответ (-∞; 5]. Проверьте точку на границе (x = 5) и любую точку внутри множества (например, x = 0) и вне множества (например, x = 10). Если все проверки согласуются с неравенством, можно быть уверенным в результате. В системах с «и» обязательно проверьте оба условия; с «или» — хотя бы одно. В задачах с дробями ещё раз пробегитесь по ОДЗ и удостоверьтесь, что запрещённые точки исключены.

Сводный алгоритм «Как решать неравенства» для быстрого применения:

1. Приведите выражения к стандартному виду: раскройте скобки, приведите подобные слагаемые.
2. Перенесите все члены с переменной в одну сторону, числа — в другую.
3. Разделите обе части на коэффициент при переменной, не забывая про правило изменения знака при делении на отрицательное число.
4. Для дробных выражений найдите ОДЗ и используйте интервальный анализ знаков.
5. Для модулей переведите задачу в двойное неравенство (для «меньше») или разберите два случая (для «больше»).
6. Запишите ответ через интервалы и, при необходимости, отметьте решение на числовой прямой.
7. Обязательно сделайте проверку на тестовых значениях.

Для закрепления попробуйте решить самостоятельно:

• 7 - 4x < 3x + 21 (ожидаемый ответ: x > -2).
• (3x + 9)/3 ≥ 5 (ответ: x ≥ 2).
• 2 < 5 - x ≤ 8 (ответ: -3 ≤ x < 3).
• (x + 3)/(x - 1) > 0 (подсказка: критические точки -3 и 1, анализ интервалов; ответ: (-∞; -3) ∪ (1; +∞)).
• |x - 4| ≤ 2 (ответ: [2; 6]).

Итоги. Умение решать неравенства — обязательная часть школьной алгебры. Здесь важны аккуратность с знаками, понимание, какие преобразования эквивалентны, а какие меняют смысл, и грамотная интерпретация ответа как множества на числовой прямой. Регулярно тренируйтесь, проговаривайте правила, проверяйте себя на простых примерах и постепенно переходите к более сложным — с системами, дробями и модулем. Тогда любые линейные неравенства и их решение перестанут вызывать затруднения, а навык анализа условий «меньше/больше», «не менее/не более» пригодится вам и в задачах, и в реальной жизни.