Объём пирамиды: основные понятия и формулы

Пирамида — это геометрическое тело, которое состоит из основания (многоугольника) и боковых граней (треугольников), соединяющих вершину пирамиды с вершинами основания. В зависимости от формы основания различают треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и т. д. пирамиды.

Объём пирамиды — это величина, которая характеризует пространство, занимаемое пирамидой. Объём пирамиды можно вычислить по формуле:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}h$,

где $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды, а $h$ — высота пирамиды.

Основные свойства объёма пирамиды

1. Аддитивность. Если пирамида разбита на несколько частей, то объём пирамиды равен сумме объёмов этих частей. Это свойство позволяет вычислять объёмы сложных фигур, разбивая их на более простые.
2. Инвариантность относительно параллельного переноса. Объём пирамиды не зависит от положения её вершины.
3. Монотонность. Если основание пирамиды содержится внутри другого основания, то объём первой пирамиды меньше объёма второй пирамиды.
4. Сохранение при подобии. При подобии пирамиды с коэффициентом $k$ объём пирамиды изменяется в $k^3$ раз.

Эти свойства позволяют использовать различные методы для вычисления объёмов пирамид.

Методы вычисления объёма пирамиды

Для вычисления объёма пирамиды можно использовать следующие методы:

• Метод разбиения. Этот метод заключается в том, что пирамида разбивается на части, объём каждой из которых можно легко вычислить. Затем объёмы всех частей складываются.
• Метод дополнения. Этот метод основан на том, что объём пирамиды можно представить как разность объёмов двух других пирамид, одна из которых содержит другую.
• Аналитический метод. Этот метод использует формулу для вычисления объёма пирамиды.

Рассмотрим каждый из этих методов подробнее.

Метод разбиения

Этот метод является наиболее простым и наглядным. Он заключается в том, что пирамида разбивается на несколько частей, объём каждой из которых легко вычислить. Например, если пирамида имеет треугольное основание, то её можно разбить на три пирамиды с одинаковыми основаниями и высотами. Тогда объём исходной пирамиды будет равен сумме объёмов трёх пирамид с треугольными основаниями.

Пример 1. Вычислить объём пирамиды, имеющей треугольное основание с площадью $S = 6 см^2$ и высотой $h = 5 см$.

Решение:

Разбиваем пирамиду на три пирамиды с треугольным основанием и одинаковой высотой. Тогда объём каждой пирамиды будет равен $\frac{1}{3}\cdot S\cdot h = \frac{1}{3}\cdot 6\cdot 5 = 10 см^3$. Следовательно, объём исходной пирамиды равен $3\cdot 10 = 30 см^3$.

Ответ: $V = 30 см^3$.

Метод дополнения

Этот метод основан на том, что объём пирамиды можно представить как разность объёмов двух других пирамид, одна из которых содержит другую. Рассмотрим пример.

Пример 2. Вычислить объём пирамиды, имеющей квадратное основание со стороной $a = 4 см$ и высоту $h = 8 см$.

Решение:

Представим исходную пирамиду как разность двух пирамид: пирамиды с квадратным основанием со стороной $b = a/2 = 2 см$ и высоты $h_1 = h/2 = 4 см$, и пирамиды с квадратным основанием со стороной $c = b = 2 см$ и высоты $h_2 = h - h_1 = 4 см$. Тогда объём исходной пирамиды будет равен разности объёмов этих двух пирамид.

Вычислим объём каждой из пирамид по формуле $V_1 = \frac{1}{3}b^2h_1$ и $V_2 = \frac{1}{3}c^2h_2$. Получим:

$V_1 = \frac{1}{3}(2)^2\cdot 4 = \frac{4}{3} см^3$,$V_2 = \frac{1}{3}(2)^2\cdot 4 = \frac{4}{3} см^3$.Тогда объём исходной пирамиды $V = V_1 - V_2 = 0$.

Ответ: объём пирамиды равен нулю.

Обратите внимание, что этот метод применим только в случае, когда основание одной пирамиды полностью содержится в основании другой пирамиды.

Аналитический метод

Этот метод использует формулу для вычисления объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}h$.

Пример 3. Вычислить объём пирамиды, имеющей прямоугольное основание со сторонами $a = 3 см$ и $b = 4 см$ и высотой $h = 7 см$.

Решение:

Площадь основания пирамиды равна $S_{осн} = ab = 3\cdot4 = 12 см^2$. Подставляя значения в формулу, получим:

$V = \frac{1}{3}12\cdot7 = \frac{21}{2} см^3$.

Ответ: $V = \frac{21}{2} см^3$.

Аналитический метод является универсальным и может быть использован для любых пирамид. Однако он требует знания формулы для вычисления площади основания пирамиды.

В заключение отметим, что объём пирамиды является важной характеристикой этого геометрического тела. Знание формул и методов вычисления объёма пирамиды позволяет решать задачи на нахождение объёмов различных пирамид.