В этом объяснении мы подробно разберём тему пропорции и скорость работы, как её изучают в начальной школе (3 класс). Постараюсь объяснить просто и доходчиво, дать понятные примеры и подробные шаги решения задач. На занятии мы будем говорить о том, что такое часть работы, как найти скорость работы одного человека, как связаны между собой число работников, время и объём работы. Эти знания помогут вам уверенно решать задачи на совместную работу и пропорции.

Сначала разберём ключевое понятие: что такое скорость работы. В задачах по работе скорость обычно измеряется как часть всей работы, которую человек или группа людей выполняют за единицу времени (например, за 1 час или за 1 день). Если человек выполняет всю работу за 5 часов, то его скорость равна 1/5 работы в час. Вот важное правило: скорость = часть работы / время. Это означает: чтобы узнать, какую часть работы делает кто-то за 1 час, нужно поделить всю работу (1) на число часов, за которые работа выполняется.

Далее поговорим о пропорции. В задачах на работу часто встречаются две типа зависимостей: прямая пропорция и обратная пропорция. Если больше людей работают одновременно, то время на выполнение работы становится меньше — это пример обратной пропорции между числом рабочих и временем. Если же увеличивается время при постоянном числе рабочих, то больше работы выполняется — это прямая пропорция между временем и объёмом выполненной работы. Чтобы правильно решать такие задачи, полезно представить всю работу как единицу (1), а части работы — как дроби.

Теперь разберём пошаговый алгоритм решения задач о работе и пропорциях. Запомните простую последовательность действий, которая поможет вам не запутаться:

• Шаг 1: Обозначьте всю работу за 1 (или за 100%, если удобнее).
• Шаг 2: Найдите скорость одного рабочего: разделите 1 на время, за которое один рабочий выполняет работу.
• Шаг 3: Если работают несколько человек, сложите их скорости → получится общая скорость группы.
• Шаг 4: Чтобы найти время, разделите объём работы (обычно 1) на общую скорость.
• Шаг 5: Всегда проверяйте единицы измерения (часы, дни) и ответ, сопоставив его здравому смыслу.

Рассмотрим несколько подробных примеров с разъяснениями, шаг за шагом.

Пример 1 (одинаковая скорость у всех): Трое рабочих за 4 часа сделали 12 деталей. Сколько деталей сделает 5 рабочих за 6 часов? Решение: сначала найдём скорость одного рабочего. Трое рабочих за 4 часа сделали 12 деталей, значит за 1 час 3 рабочих делают 12 / 4 = 3 детали. Тогда один рабочий за 1 час делает 3 / 3 = 1 деталь. Значит, один рабочий за 6 часов сделает 6 деталей. Пять рабочих за 6 часов сделают 5 × 6 = 30 деталей. Ответ: 30 деталей. Здесь мы использовали переход к единичной скорости и затем масштабировали на нужное число работников и часов.

Пример 2 (время с увеличением числа рабочих): Один рабочий выполняет всю работу за 10 часов. Сколько времени потребуется пяти рабочим, работающим с той же скоростью? Решение: скорость одного рабочего = 1 / 10 работы в час. Пять рабочих вместе: 5 × (1 / 10) = 5 / 10 = 1 / 2 работы в час. Чтобы выполнить всю работу (1), потребуется время = 1 / (1/2) = 2 часа. Ответ: 2 часа. Здесь замечаем обратную пропорцию: при увеличении числа рабочих время уменьшается.

Пример 3 (разные скорости, совместная работа): Петя может выполнить работу за 6 часов, а Вася — за 12 часов. Сколько времени им потребуется, если они работают вместе? Решение: скорость Пети = 1/6 работы в час, скорость Васи = 1/12 работы в час. Общая скорость = 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 работы в час. Значит, время на всю работу = 1 / (1/4) = 4 часа. Ответ: 4 часа. Этот пример показывает важный приём: складывать скорости (части работы), а затем делить единицу на полученную сумму.

Ещё один способ решать некоторые задачи — использовать пропорции напрямую, без перехода к единичной скорости. Например, если известно количество работников и время, можно составить соотношение: workers1 / workers2 = time2 / time1 при условии одинакового объёма работы и равной скорости каждого. Но стоит помнить, что это обратная пропорция: число рабочих и время связаны обратно. Пример: 3 человека сделали работу за 9 часов. Сколько нужно человек, чтобы сделать ту же работу за 3 часа? По формуле: workers2 = workers1 × time1 / time2 = 3 × 9 / 3 = 9 человек. Так мы быстро применили правило обратной пропорции.

Полезные советы для школьников: обращайте внимание на формулировку задач. Если сказано "вместе" — складываем скорости. Если сказано "сколько человек потребуется" — применяем обратную пропорцию. Всегда записывайте начало решения аккуратно: что принимаем за 1 (вся работа), какова единица времени (час, день) и как вычисляем скорость одного рабочего. Это уменьшит шанс ошибки. Также удобно сначала найти, сколько работы делает один человек за один час — это называется единичная скорость. Её используют как строительный блок для всех дальнейших вычислений.

Ниже приведены несколько тренировочных задач с ответами, чтобы закрепить материал:

1. Трое мастеров делают за 5 дней ремонт. За сколько дней сделают тот же ремонт пятеро мастеров? (Ответ: 3 дня; расчёт: 3×5=15 человеко-дней, 15/5=3).
2. Один рабочий выкопал траншею за 8 часов. Сколько рабочих нужно, чтобы выкопать такую же траншею за 2 часа? (Ответ: 4 рабочих; расчёт: скорость одного = 1/8, за 2 часа один сделает 1/4, значит нужно 4 человека).
3. Мама и папа моют окна: мама за 3 часа, папа — за 6 часов. Сколько времени им потребуется вместе? (Ответ: 2 часа; расчёт: 1/3 + 1/6 = 1/2 → 2 часа).

В завершение несколько интересных замечаний и приёмов, которые помогут глубже понять тему. Во-первых, понятие части работы удобно не только в задачах о людях, но и при машинной работе: если машина делает 10 деталей в час, её скорость = 10 деталей/час, и те же приёмы применимы. Во-вторых, в более сложных задачах скорость может меняться со временем (например, утомление), тогда применяются интеграции или шаговый расчёт, но для 3 класса этого не требуется. Наконец, проверяйте ответы простым умозаключением: если увеличили число рабочих вдвое, то время должно уменьшиться вдвое (при прочих равных) — это помогает заметить ошибку.

Если вы будете выполнять похожие задачи по описанному алгоритму, записывать шаги и проверять результаты, вы быстро научитесь уверенно работать с пропорциями и скоростью работы. Рекомендуется решать разные типы примеров: с равными и разными скоростями, с разными единицами времени и с частично выполненной работой — это укрепит понимание и навыки. Удачи в занятиях и не стесняйтесь спрашивать, если нужна помощь с конкретной задачей!