Начнём с самого важного: что такое куб. Куб — это трёхмерный геометрический предмет, у которого все шесть граней — одинаковые квадраты. У куба есть грани, рёбра и вершины. Грани — это плоские стороны (у куба их 6), рёбра — отрезки, по которым встречаются две грани (у куба их 12), а вершины — точки, где сходятся три ребра (у куба их 8). Эти простые факты нужно хорошо запомнить, потому что дальше мы будем их постоянно использовать.

Теперь понятие развёртки. Развёртка — это изображение всех граней объёмного тела (в нашем случае куба) на плоскости так, как будто мы разрезали модель и разложили её. Для куба развертки выглядят как составленные из шести квадратов фигуры. Развёртку удобно представлять как коробочку, которую мы разрезали по рёбрам и раскладываем. Важно понимать: не любая картинка из шести квадратов — развёртка куба. Квадраты должны быть расположены так, чтобы их можно было согнуть и составить куб без наложений и без пропусков.

Какие бывают свойства куба, которые помогают строить и проверять развёртки? Запомни эти формулы — они простые и полезные. Если длина ребра куба равна a, то:

• площадь одной грани = a · a = a²;
• площадь поверхности всего куба (сумма площадей всех 6 граней) = 6·a²;
• объём куба = a · a · a = a³.

Рассмотрим подробный пример, который поможет усвоить формулы и понять, как применять их. Задача: "Длина ребра куба равна 3 см. Найдите площадь поверхности и объём куба." Решаем по шагам:

1. Найти площадь одной грани: a² = 3² = 9 (см²).
2. Найти площадь поверхности: 6·a² = 6·9 = 54 (см²).
3. Найти объём: a³ = 3³ = 27 (см³).

Ответ: площадь поверхности = 54 см², объём = 27 см³. Важный момент — единицы измерения: площадь в квадратных сантиметрах, объём в кубических сантиметрах.

Как же строить развёртки куба? Я опишу простой метод, которым может пользоваться ученик. Представьте одну грань куба — это центральный квадрат. К этой центральной грани можно прилепить до четырёх квадратов по сторонам (вверх, вниз, влево, вправо). Шестой квадрат нужно прилепить к одной из тех четырёх крайних граней так, чтобы при складывании он оказался крышкой. Чтобы проверить развёртку на правильность, выполните такую мысленную операцию: представьте, что вы складываете бумагу по рёбрам — центральный квадрат станет дном, четыре прилегающих — стенками, а шестой — крышкой, закрывающей коробочку. Если при мысленном сгибании квадраты накладываются друг на друга или оставляются пустые места, значит, развёртка неверна.

Интересный факт: существует ровно 11 различных развёрток куба (считая разные расположения, которые нельзя получить поворотом одной и той же развёртки). Это замечательная головоломка: можно попробовать нарисовать все варианты. Для младших школьников полезно взять бумагу в клеточку, вырезать 6 одинаковых квадратов и попробовать соединить их разными способами, затем складывать получившуюся фигуру — это отличный способ почувствовать объём и понять взаимное расположение граней.

Дам несколько практических советов и правил, которые помогают не допускать ошибок при работе с развёртками:

• Всегда проверьте, что у развёртки ровно 6 квадраты и что из каждого квадрата выходит не более 4 соседних квадрата по рёбрам.
• Запомните, что у куба нет "плавающих" квадратов, то есть каждая грань должна быть соединена с остальными через систему соседствующих рёбер; нельзя оставлять отдельный квадрат, приклеенный только к одному уголку другого квадрата.
• Если не уверены, попробуйте складывать бумажную модель: это быстрее и понятнее, чем мучиться мысленно.
• При решении задач про поля или маркировку граней (например, раскрась одну грань и спроси, какие будут противоположные грани) полезно помнить: у куба каждая грань имеет ровно одну противоположную грань.

Приведу ещё несколько типичных задач с пошаговым решением, чтобы закрепить навык.

1. Задача: "Найти площадь поверхности куба с ребром 5 см." Решение: площадь одной грани = 5² = 25 см², поверхность = 6·25 = 150 см². Ответ: 150 см².
2. Задача: "Построй развёртку куба, у которого одна грань отмечена крестиком. Какая грань окажется напротив отмеченной, когда сложим куб?" Решение: в развёртке противоположная грань — та, которая не соприкасается с отмеченной через рёбра. Если вы сделали развёртку с центральным квадратом отмеченным, то противоположная грань — та, которую нельзя получить, переходя от центра шагом по соседним граням; проще: у куба каждая грань имеет одну противоположную и четырёх смежных.
3. Задача: "Куб окрашивают снаружи, затем распиливают на маленькие кубики со стороной 1 см. Сколько маленьких кубиков будет окрашено снаружи?" Это уже сложнее, но важно: если большой куб имеет ребро n сантиметров, то окрашенные маленькие кубики — это все кубики, находящиеся на поверхности. Полное число маленьких кубиков = n³, а число неокрашенных (внутренних) = (n-2)³ (если n>2). Значит, окрашенных = n³ - (n-2)³. Для 4 класса можно привести пример: n=3, окрашенных = 27 - 1 = 26.

Наконец, немного занимательной информации, чтобы урок был интереснее. Куб — это один из пяти правильных многогранников (правильные — те, у которых все грани одинаковые правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней). Ещё куб широко встречается в жизни: кубики для детей, игральные кости (кость — это куб), упаковочные коробки, строительные блоки. Знаменитая головоломка — куб Рубика — представляет собой механическую модель, у которой внешняя часть сделана в форме куба, и поэтому многие свойства куба и развёрток полезно знать для понимания её устройства.

Подведу итог и дам домашнее задание. Итог: запомните числа 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин, формулы для площади и объёма (6a² и a³), и то, как проверять развёртки — мысленным или реальным складыванием. Домашнее задание: нарисуйте на бумаге три разные развёртки куба, вырежьте их и сложите кубы; затем посчитайте площадь поверхности и объём для куба с ребром 4 см. Ответы при необходимости можете сверить с учителем или прислать на проверку. Удачи и интересных открытий в мире геометрии!