Теорема Пифагора Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем геометрии, которая устанавливает связь между квадратами катетов и квадратом гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Эта теорема была известна ещё в Древнем Египте, Вавилоне и Китае, но её современное доказательство приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н. э.). Формулировка теоремы: «В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов». Доказательство теоремы Существует несколько способов доказательства теоремы Пифагора. Один из них основан на использовании площадей квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Построим квадраты на каждой стороне этого треугольника: квадрат ABFH со стороной AB; квадрат BCDE со стороной BC; квадрат ACGK со стороной AC. Площадь каждого из этих квадратов равна квадрату соответствующей стороны треугольника: SABFH = AB2, SBCDE = BC2, SACGK = AC2. Поскольку треугольники ABC и ACD подобны по двум углам, то их соответствующие стороны пропорциональны. Следовательно, AB/AC = AC/BC. Тогда AB2 = AC AC = AC2, BC2 = AC BC = AC2. Таким образом, площади квадратов ABFH и BCDE равны. Теперь рассмотрим площадь квадрата ACGK и сумму площадей квадратов ABFH и BCDH. Площадь квадрата ACGK равна AC2, а сумма площадей квадратов ABFH и BCDE равна AB2 + BC2. Поскольку эти площади равны, получаем: AC2 = AB2 + BC2, что и требовалось доказать. Применение теоремы Пифагора Теорему Пифагора можно использовать для решения задач на нахождение сторон прямоугольного треугольника или проверки правильности вычислений. Например, если известны длины катетов a и b, то длину гипотенузы c можно найти по формуле: c = √(a2 + b2). Также теорема Пифагора применяется в различных областях математики и физики, например, при решении задач на движение, работу, проценты и т. д. Вот несколько примеров использования теоремы Пифагора: 1. Задача 1. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 см и BC = 4 см найти длину гипотенузы AC. Решение: По теореме Пифагора AC = √(AB2 + BC2) = √(9 + 16) = √25 = 5 см. Ответ: длина гипотенузы равна 5 см. 2. Задача 2. Высота h равностороннего треугольника ABC равна 6 см. Найти длину стороны a этого треугольника. Решение: Так как треугольник равносторонний, то все его углы равны 60°. Проведём высоту BH, которая является медианой и биссектрисой. Получим прямоугольный треугольник ABH с гипотенузой AB и катетом AH, равным половине стороны a. По теореме Пифагора AB = √(AH2 + BH2) = √((a/2)2 + h2) = √(a2/4 + 36). Отсюда a = √(4 √(a2/4 + 36)) = √(16 + 36) = 10 см. Ответ: сторона треугольника равна 10 см. Таким образом, теорема Пифагора является одной из самых важных теорем в математике, которая находит широкое применение в различных областях науки и техники.