Чтобы найти n (количество членов арифметической прогрессии), нам нужно использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Sn = (n/2) * (2a1 + (n - 1)d)

Где:

• Sn — сумма первых n членов;
• a1 — первый член прогрессии;
• d — разность прогрессии;
• n — количество членов прогрессии.

Теперь давайте рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Случай 1: a1 = 25, d = -2, Sn = 168.

   Подставим известные значения в формулу:

   168 = (n/2) * (2*25 + (n - 1)(-2))

   Упростим уравнение:

   168 = (n/2) * (50 - 2n + 2)

   168 = (n/2) * (52 - 2n)

   Умножим обе стороны на 2:

   336 = n * (52 - 2n)

   336 = 52n - 2n^2

   2n^2 - 52n + 336 = 0

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   D = (-52)^2 - 4 * 2 * 336 = 2704 - 2688 = 16

   Находим корни:

   n = (52 ± √16) / (2 * 2) = (52 ± 4) / 4

   n1 = 14, n2 = 12. Поскольку n должно быть положительным, n = 14.

2. Случай 2: a1 = 5, d = 2, Sn = 192.

   Подставим в формулу:

   192 = (n/2) * (2*5 + (n - 1)2)

   192 = (n/2) * (10 + 2n - 2)

   192 = (n/2) * (8 + 2n)

   Умножим на 2:

   384 = n * (8 + 2n)

   384 = 8n + 2n^2

   2n^2 + 8n - 384 = 0

   D = 8^2 - 4 * 2 * (-384) = 64 + 3072 = 3136

   n = (-8 ± √3136) / 4 = (-8 ± 56) / 4

   n1 = 12, n2 = -16. Поскольку n должно быть положительным, n = 12.

3. Случай 3: a1 = -12,5, d = 3, Sn = 195,5.

   Подставим в формулу:

   195,5 = (n/2) * (2*(-12,5) + (n - 1)3)

   195,5 = (n/2) * (-25 + 3n - 3)

   195,5 = (n/2) * (3n - 28)

   Умножим на 2:

   391 = n * (3n - 28)

   391 = 3n^2 - 28n

   3n^2 - 28n - 391 = 0

   D = (-28)^2 - 4 * 3 * (-391) = 784 + 4692 = 5476

   n = (28 ± √5476) / 6 = (28 ± 74) / 6

   n1 = 17, n2 = -7. Поскольку n должно быть положительным, n = 17.

4. Случай 4: a1 = -2,4, d = -0,8, Sn = -70,4.

   Подставим в формулу:

   -70,4 = (n/2) * (2*(-2,4) + (n - 1)(-0,8))

   -70,4 = (n/2) * (-4,8 - 0,8n + 0,8)

   -70,4 = (n/2) * (-4 - 0,8n)

   Умножим на 2:

   -140,8 = n * (-4 - 0,8n)

   -140,8 = -4n - 0,8n^2

   0,8n^2 - 4n - 140,8 = 0

   D = (-4)^2 - 4 * 0,8 * (-140,8) = 16 + 450,56 = 466,56

   n = (4 ± √466,56) / (2 * 0,8) = (4 ± 21,6) / 1,6

   n1 = 16, n2 = -11,5. Поскольку n должно быть положительным, n = 16.

Таким образом, мы нашли значения n для всех случаев:

• Случай 1: n = 14
• Случай 2: n = 12
• Случай 3: n = 17
• Случай 4: n = 16