1. Целочисленные решения уравнения x² – 6xy + 9y² = 25.

Обратите внимание, что левую часть можно представить как полный квадрат:

x² – 6xy + 9y² = (x – 3y)².

Тогда уравнение эквивалентно (x – 3y)² = 25, значит x – 3y = 5 или x – 3y = −5. Ищем целочисленные пары среди данных вариантов:

• (8; 1): 8 − 3·1 = 5 → подходит.
• (8; −1): 8 − 3·(−1) = 11 → не подходит.
• (1; −8): 1 − 3·(−8) = 25 → не подходит (25² ≠ 25, но мы смотрим x−3y = 25, тогда (x−3y)² = 625 ≠ 25).
• (−5; 0): −5 − 3·0 = −5 → подходит.
• (5,3; 0,1) — нецелые числа → не подходят.

Ответ: (8; 1) и (−5; 0).

3. Подберите общее решение для диофантовых уравнений.

Уравнение A: 3x + 2y = 7. Решаем в целых.

Избавляемся от параметра: возьмём x ≡ 1 (mod 2), положим x = 1 + 2n. Подставляем:

3(1 + 2n) + 2y = 7 → 3 + 6n + 2y = 7 → 2y = 4 − 6n → y = 2 − 3n.

Итак общее решение для 3x + 2y = 7: x = 1 + 2n, y = 2 − 3n.

Уравнение B: 5x − 2y = 12. Находим частное решение: x0 = 2, y0 = −1 (потому что 5·2 − 2·(−1) = 10 + 2 = 12). Общее решение однородного: если 5x − 2y = 0, то при x = 2t получается y = 5t. Значит общее решение:

x = 2 + 2t, y = −1 + 5t. (В списке есть варианты с другим знаком параметра — эквивалентно.)

В данных вариантах это соответствует сочетанию x = 2 − 2n и y = −1 − 5n (замена n → −t).

Соответствие:

• 3x + 2y = 7 → x = 1 + 2n, y = 2 − 3n.
• 5x − 2y = 12 → x = 2 − 2n, y = −1 − 5n. (эквивалентно x = 2 + 2t, y = −1 + 5t)

5. Пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33.

Пусть x и y — натуральные числа, x² − y² = 33. Тогда (x − y)(x + y) = 33.

Факторы 33: 1·33 и 3·11. Решаем системы:

1. x − y = 1, x + y = 33 → 2x = 34 → x = 17, y = 16.
2. x − y = 3, x + y = 11 → 2x = 14 → x = 7, y = 4.

Других положительных решений нет.

Ответ (сначала пара с меньшей суммой): (7,4), (17,16).