Решим данные неравенства по очереди, начиная с первого.

Для решения этого неравенства нам нужно сначала избавиться от логарифма. Мы знаем, что логарифм по основанию 2 равен 2, когда его аргумент равен 4. Таким образом, мы можем записать неравенство в экспоненциальной форме:

log2(x-4) < 2 <=> x - 4 < 2²

Теперь упростим это:

• x - 4 < 4
• x < 4 + 4
• x < 8

Однако, у нас есть еще одно ограничение: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть x - 4 > 0. Это приводит к следующему неравенству:

• x > 4

Теперь мы имеем два условия:

• x > 4
• x < 8

Таким образом, решение первого неравенства:

Теперь перейдем ко второму неравенству.

Сначала преобразуем логарифм с основанием 0,2. Мы знаем, что log0,2(a) ≥ -2 эквивалентно a ≤ 0,2², потому что основание логарифма меньше 1. Таким образом:

log0,2 (x² + 4x) ≥ -2 <=> x² + 4x ≤ 0,2²

Теперь вычислим 0,2²:

• 0,2² = 0,04

Подставим это значение в неравенство:

x² + 4x ≤ 0,04

Теперь перенесем 0,04 в левую часть:

x² + 4x - 0,04 ≤ 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, используя дискриминант:

D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-0,04) = 16 + 0,16 = 16,16

Теперь находим корни:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-4 ± √16,16) / 2

Вычислим корни:

• √16,16 ≈ 4,02
• x1 ≈ (-4 + 4,02) / 2 ≈ 0,01 / 2 = 0,005
• x2 ≈ (-4 - 4,02) / 2 ≈ -8,02 / 2 = -4,01

Теперь у нас есть два корня: x1 ≈ 0,005 и x2 ≈ -4,01. Теперь мы можем определить промежутки:

Квадратный трехчлен x² + 4x - 0,04 будет меньше или равен нулю между корнями. Таким образом, решение второго неравенства:

Теперь подведем итоги:

Эти два интервала не пересекаются, следовательно, решений для системы данных неравенств нет.