СРОЧНО! В прямоугольном треугольнике гипотенуза превышает один из катетов на 4 см, а второй катет равен среднему арифметическому гипотенузы и первого катета. Как можно определить длины сторон этого треугольника? (с решением, пожалуйста)

Алгебра 10 класс Прямоугольные треугольники алгебра 10 класс прямоугольный треугольник гипотенуза катеты среднее арифметическое решение задачи длины сторон математическая задача Новый

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом:

• c - гипотенуза
• a - первый катет
• b - второй катет

По условию задачи у нас есть два уравнения:

1. Гипотенуза превышает один из катетов на 4 см: c = a + 4
2. Второй катет равен среднему арифметическому гипотенузы и первого катета: b = (c + a) / 2

Теперь подставим первое уравнение во второе:

Вместо c подставим a + 4:

b = ((a + 4) + a) / 2

Упростим это выражение:

b = (2a + 4) / 2

Теперь у нас есть:

b = a + 2

Теперь у нас есть выражения для c и b через a:

• c = a + 4
• b = a + 2

Теперь применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a² + b² = c²

Подставим выражения для b и c:

a² + (a + 2)² = (a + 4)²

Теперь раскроем скобки:

a² + (a² + 4a + 4) = (a² + 8a + 16)

Соберем все в одну сторону:

2a² + 4a + 4 = a² + 8a + 16

Упростим уравнение:

2a² + 4a + 4 - a² - 8a - 16 = 0

Это будет:

a² - 4a - 12 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

a = (4 ± √64) / 2 = (4 ± 8) / 2

Решим это уравнение:

• a₁ = (4 + 8) / 2 = 12 / 2 = 6
• a₂ = (4 - 8) / 2 = -4 / 2 = -2 (отрицательное значение не подходит)

Таким образом, a = 6 см.

Теперь найдем b и c:

b = a + 2 = 6 + 2 = 8 см

c = a + 4 = 6 + 4 = 10 см

Итак, длины сторон прямоугольного треугольника:

• Первый катет (a) = 6 см
• Второй катет (b) = 8 см
• Гипотенуза (c) = 10 см