Давайте по порядку разберем ваши вопросы.

Для того чтобы показать, что функция F является первообразной для функции f, нужно продемонстрировать, что производная функции F равна функции f. Мы будем использовать правило дифференцирования.

1. а) F(x) = x^3 - 3, f(x) = 3x^2
   • Находим производную F(x):
   • F'(x) = d/dx (x^3 - 3) = 3x^2.
   • Таким образом, F'(x) = f(x), что доказывает, что F является первообразной для f.
2. б) F(x) = 7x - sin(x), f(x) = 7 - cos(x)
   • Находим производную F(x):
   • F'(x) = d/dx (7x - sin(x)) = 7 - cos(x).
   • Таким образом, F'(x) = f(x), что доказывает, что F является первообразной для f.

Чтобы найти общую первообразную функции, мы будем интегрировать каждую из данных функций.

1. а) f(x) = x^2 - 38ln(x)
   • Общая первообразная F(x) будет:
   • F(x) = (1/3)x^3 - 38(xln(x) - x) + C, где C - произвольная константа.
2. б) f(x) = x/(1+x)
   • Используем метод деления:
   • F(x) = ln(1+x) + C.
3. в) f(x) = 2sin(x)cos(x)
   • Используем формулу: 2sin(x)cos(x) = sin(2x).
   • Тогда F(x) = -cos(2x)/2 + C.

Сначала найдем общую первообразную функции f(x):

• F(x) = (1/3)(3x^3) + (1/2)(x^2) + x + C = x^3 + (1/2)x^2 + x + C.

Теперь нам нужно найти константу C, чтобы график проходил через точку M(1;0):

• Подставим x = 1 и F(1) = 0:
• 0 = 1^3 + (1/2)(1^2) + 1 + C.
• 0 = 1 + 0.5 + 1 + C.
• 0 = 2.5 + C.
• Следовательно, C = -2.5.

Таким образом, первообразная, график которой проходит через точку M(1;0):

• F(x) = x^3 + (1/2)x^2 + x - 2.5.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше разъяснений, не стесняйтесь спрашивать!