1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R

Чтобы доказать, что функция F является первообразной для функции f, необходимо показать, что производная F'(x) равна f(x) для всех x из множества R.

a) F(x) = x³ - 3, f(x) = 3x²

1. Найдём производную функции F:
2. F'(x) = d/dx (x³ - 3) = 3x².
3. Теперь сравним с f(x): f(x) = 3x².
4. Так как F'(x) = f(x), мы можем заключить, что F является первообразной для f.

б) F(x) = 7x - sin(x), f(x) = 7 - cos(x)

1. Найдём производную функции F:
2. F'(x) = d/dx (7x - sin(x)) = 7 - cos(x).
3. Теперь сравним с f(x): f(x) = 7 - cos(x).
4. Так как F'(x) = f(x), мы можем заключить, что F является первообразной для f.

2. Найдите общий вид первообразной для функции

Для нахождения первообразной функции f(x), мы будем интегрировать её.

a) f(x) = x² - 38ln(x)

1. Интегрируем f(x): ∫(x² - 38ln(x)) dx.
2. ∫x² dx = (1/3)x³ + C1, где C1 - произвольная константа.
3. ∫ln(x) dx = xln(x) - x + C2, где C2 - произвольная константа.
4. Таким образом, ∫(-38ln(x)) dx = -38(xln(x) - x) + C3.
5. Общий вид первообразной: F(x) = (1/3)x³ - 38(xln(x) - x) + C.

б) f(x) = x/(1+x)

1. Интегрируем f(x): ∫(x/(1+x)) dx.
2. Можно упростить: x/(1+x) = 1 - 1/(1+x).
3. Теперь интегрируем: ∫(1 - 1/(1+x)) dx = ∫1 dx - ∫1/(1+x) dx.
4. ∫1 dx = x + C1, ∫1/(1+x) dx = ln|1+x| + C2.
5. Общий вид первообразной: F(x) = x - ln|1+x| + C.

в) f(x) = 28ln(x)cos(x)

1. Интегрируем f(x): ∫(28ln(x)cos(x)) dx.
2. Здесь потребуется использовать метод интегрирования по частям.
3. Пусть u = ln(x), dv = 28cos(x)dx. Тогда du = (1/x)dx, v = 28sin(x).
4. Используя формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.
5. F(x) = 28ln(x)sin(x) - ∫(28sin(x)(1/x))dx + C.
6. Этот интеграл может потребовать дополнительных преобразований, но общий вид будет: F(x) = 28ln(x)sin(x) - 28∫(sin(x)/x)dx + C.

3. Для функции f(x) = 3x²(4x + 1) найдите первообразную, график которой проходит через точку f(40).

1. Сначала упростим функцию: f(x) = 3x²(4x + 1) = 12x³ + 3x².
2. Теперь найдём первообразную: ∫(12x³ + 3x²) dx.
3. ∫12x³ dx = 3x^4 + C1, ∫3x² dx = x³ + C2.
4. Таким образом, F(x) = 3x^4 + x³ + C.
5. Теперь найдём C, используя условие, что график проходит через точку (40, f(40)).
6. Сначала найдём f(40): f(40) = 3(40)²(4*40 + 1) = 3*1600*161 = 769200.
7. Теперь подставим x = 40 в F(x): F(40) = 3(40)^4 + (40)^3 + C = 3*2560000 + 64000 + C = 7680000 + 64000 + C = 7744000 + C.
8. Приравняем: 7744000 + C = 769200. Отсюда C = 769200 - 7744000 = -6974800.
9. Таким образом, искомая первообразная: F(x) = 3x^4 + x³ - 6974800.