Чтобы решить уравнение sin(πx/2 + π/3) + cos(πx/2 - π/3) = 2, начнем с анализа левой части уравнения.

Сумма sin и cos может принимать значения в диапазоне от -2 до 2. Значение 2 достигается только тогда, когда оба слагаемых равны 1. Это возможно, если:

1. sin(πx/2 + π/3) = 1
2. cos(πx/2 - π/3) = 1

Теперь найдем, при каких условиях это возможно.

1. Рассмотрим первое уравнение:

sin(πx/2 + π/3) = 1 означает, что:

πx/2 + π/3 = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Решим это уравнение:

1. πx/2 = π/2 - π/3 + 2kπ
2. πx/2 = π/6 + 2kπ
3. x = 2/π * (π/6 + 2kπ) = 1/3 + 4k

2. Теперь рассмотрим второе уравнение:

cos(πx/2 - π/3) = 1 означает, что:

πx/2 - π/3 = 2mπ, где m - целое число.

Решим это уравнение:

1. πx/2 = 2mπ + π/3
2. x = 4m + 2/3

Теперь у нас есть два выражения для корней:

• x = 1/3 + 4k
• x = 4m + 2/3

Теперь найдем такие k и m, чтобы корни попадали в промежуток [-10; 1].

Для первого выражения:

1. 1/3 + 4k >= -10
2. 4k >= -10 - 1/3
3. 4k >= -31/3
4. k >= -31/12

k может принимать значения от -2 до 0 (целые числа).

Теперь подставим значения k:

• k = -2: x = 1/3 + 4*(-2) = 1/3 - 8 = -23/3 (не подходит)
• k = -1: x = 1/3 + 4*(-1) = 1/3 - 4 = -11/3 (не подходит)
• k = 0: x = 1/3 + 4*0 = 1/3 (подходит)

Теперь для второго выражения:

1. 4m + 2/3 <= 1
2. 4m <= 1 - 2/3
3. 4m <= 1/3
4. m <= 1/12

m может принимать значения от -2 до 0 (целые числа).

Теперь подставим значения m:

• m = -2: x = 4*(-2) + 2/3 = -8 + 2/3 = -24/3 + 2/3 = -22/3 (не подходит)
• m = -1: x = 4*(-1) + 2/3 = -4 + 2/3 = -12/3 + 2/3 = -10/3 (не подходит)
• m = 0: x = 4*0 + 2/3 = 2/3 (подходит)

Таким образом, подходящие корни в промежутке [-10; 1]: x = 1/3 и x = 2/3.

Теперь найдем сумму корней:

Сумма = 1/3 + 2/3 = 1.

Ответ: сумма корней уравнения, принадлежащих промежутку [-10; 1], равна 1.