Давайте последовательно решим поставленные задачи для функции y = x³ - 3x².

Для нахождения производной функции y = x³ - 3x² воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции. Производная функции y по x обозначается как y'.

1. Производная от x³ равна 3x².
2. Производная от -3x² равна -6x.

Таким образом, производная функции:

y' = 3x² - 6x.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае мы найдем точки, где y' = 0.

Решим уравнение:

3x² - 6x = 0.

Выносим общий множитель:

3x(x - 2) = 0.

Теперь решим это уравнение:

• 3x = 0 ⇒ x = 0;
• x - 2 = 0 ⇒ x = 2.

Таким образом, критические точки функции:

x = 0 и x = 2.

Для этого проанализируем знак производной y' на интервалах, определяемых критическими точками. У нас есть три интервала:

• (-∞, 0);
• (0, 2);
• (2, +∞).

Теперь выберем тестовые значения для каждого интервала и подставим их в производную y'.

1. Для интервала (-∞, 0), например, x = -1:

y'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9 (положительное).

2. Для интервала (0, 2), например, x = 1:

y'(1) = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3 (отрицательное).

3. Для интервала (2, +∞), например, x = 3:

y'(3) = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9 (положительное).

Теперь можем сделать выводы о промежутках возрастания и убывания:

• На интервале (-∞, 0) функция возрастает.
• На интервале (0, 2) функция убывает.
• На интервале (2, +∞) функция снова возрастает.

Итак, мы нашли производную функции, критические точки и определили промежутки возрастания и убывания:

Производная: y' = 3x² - 6x;

Критические точки: x = 0 и x = 2;

Промежутки возрастания: (-∞, 0) и (2, +∞); промежуток убывания: (0, 2).