Задача 2: Нам нужно найти длину вектора c, который равен 2a - b. Давайте сначала найдем вектор c, используя заданные векторы a и b.

Векторы a и b заданы как:

• a(6; 2; 1)
• b(0; -1; 2)

Теперь вычислим 2a:

• 2a = 2 * (6; 2; 1) = (2*6; 2*2; 2*1) = (12; 4; 2)

Теперь вычтем вектор b из 2a:

• c = 2a - b = (12; 4; 2) - (0; -1; 2) = (12 - 0; 4 - (-1); 2 - 2) = (12; 4 + 1; 0) = (12; 5; 0)

Теперь найдем длину вектора c. Длина вектора (x; y; z) вычисляется по формуле:

• |c| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Подставим значения:

• |c| = sqrt(12^2 + 5^2 + 0^2) = sqrt(144 + 25 + 0) = sqrt(169) = 13

Ответ: Длина вектора c равна 13.

Задача 3: Нам нужно найти расстояние от начала координат до середины отрезка AB, если A(2; -1; 0) и B(-2; 3; 2).

Сначала найдем координаты середины отрезка AB. Середина отрезка определяется как:

• M = ((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2; (z1 + z2)/2)

Подставим координаты точек A и B:

• M = ((2 + (-2))/2; (-1 + 3)/2; (0 + 2)/2) = (0/2; 2/2; 2/2) = (0; 1; 1)

Теперь найдем расстояние от начала координат (0; 0; 0) до точки M(0; 1; 1). Расстояние вычисляется по той же формуле:

• Расстояние = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

В нашем случае:

• Расстояние = sqrt((0 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 0)^2) = sqrt(0 + 1 + 1) = sqrt(2)

Ответ: Расстояние от начала координат до середины отрезка AB равно sqrt(2).

Задача 4: Нам нужно найти угол между векторами AC и BD, где A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3).

Сначала найдем векторы AC и BD:

Вектор AC:

• AC = C - A = (-4; 1; 1) - (1; -2; 2) = (-4 - 1; 1 - (-2); 1 - 2) = (-5; 3; -1)

Вектор BD:

• BD = D - B = (-5; -5; 3) - (1; 4; 0) = (-5 - 1; -5 - 4; 3 - 0) = (-6; -9; 3)

Теперь, чтобы найти угол между векторами, используем формулу:

• cos(θ) = (AC * BD) / (|AC| * |BD|)

Сначала найдем скалярное произведение AC и BD:

• AC * BD = (-5)*(-6) + (3)*(-9) + (-1)*3 = 30 - 27 - 3 = 0

Теперь найдем длины векторов AC и BD:

• |AC| = sqrt((-5)^2 + 3^2 + (-1)^2) = sqrt(25 + 9 + 1) = sqrt(35)
• |BD| = sqrt((-6)^2 + (-9)^2 + 3^2) = sqrt(36 + 81 + 9) = sqrt(126)

Теперь подставим значения в формулу для cos(θ):

• cos(θ) = 0 / (sqrt(35) * sqrt(126)) = 0

Поскольку cos(θ) = 0, это означает, что угол θ равен 90 градусов.

Ответ: Угол между векторами AC и BD равен 90 градусов.