Похожие вопросы
2025-10-29 20:17:13
5. Какой объем тела получится при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1, y = 0, x = 1 и x = 2?
Алгебра 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращение вокруг оси алгебра 11 класс фигура линии y = x^2 + 1 y = 0 x = 1 x = 2 Новый
2025-10-29 20:17:33
Чтобы найти объем тела, получающегося при вращении фигуры вокруг оси Ox, мы будем использовать метод дисков. Этот метод основан на том, что объем тела можно представить как сумму объемов тонких дисков, которые образуются при вращении маленьких участков фигуры.
Сначала определим границы интегрирования и функцию, которая будет определять радиус диска:
- Функция: y = x^2 + 1.
- Границы по x: от x = 1 до x = 2.
- Линия y = 0 будет служить нижней границей для радиуса диска.
Теперь объем V тела вращения можно выразить через интеграл:
V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx
где:
- f(x) - это функция, ограничивающая фигуру (в нашем случае f(x) = x^2 + 1),
- [a, b] - это пределы интегрирования (от 1 до 2).
Теперь подставим все в формулу:
V = π * ∫[1, 2] (x^2 + 1)^2 dx
Теперь нужно вычислить интеграл:
- Раскроем скобки: (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1.
- Теперь интегрируем каждую часть:
V = π * ∫[1, 2] (x^4 + 2x^2 + 1) dx
Теперь вычисляем интеграл:
- ∫x^4 dx = (1/5)x^5,
- ∫2x^2 dx = (2/3)x^3,
- ∫1 dx = x.
Теперь подставим пределы интегрирования:
V = π * [(1/5)x^5 + (2/3)x^3 + x] от 1 до 2
Сначала подставим x = 2:
- (1/5)(2^5) + (2/3)(2^3) + 2 = (1/5)(32) + (2/3)(8) + 2 = 6.4 + 5.333 + 2 = 13.733.
Теперь подставим x = 1:
- (1/5)(1^5) + (2/3)(1^3) + 1 = (1/5)(1) + (2/3)(1) + 1 = 0.2 + 0.6667 + 1 = 1.8667.
Теперь вычтем результаты:
V = π * (13.733 - 1.8667) = π * 11.8663.
Таким образом, объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси Ox, равен:
V ≈ 37.307 π.