Какой объем тела получится при вращении вокруг оси Y фигуры, ограниченной линиями: y=2x-3, x=0, y=2, y=3?

Алгебра 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращение вокруг оси Y фигура линии y=2x-3 x=0 y=2 y=3 алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти объем тела, получающегося при вращении фигуры вокруг оси Y, нам нужно использовать метод дисков или цилиндров. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Определение границ интегрирования

Сначала найдем точки пересечения линий, которые ограничивают фигуру.

• Линия y = 2x - 3 пересекает y = 2:
1. 2 = 2x - 3
2. 2x = 5
3. x = 2.5
• Линия y = 2x - 3 пересекает y = 3:
1. 3 = 2x - 3
2. 2x = 6
3. x = 3

Таким образом, фигура ограничена вертикальными линиями x = 0, x = 2.5 и x = 3, а также горизонтальными линиями y = 2 и y = 3.

Шаг 2: Определение функции для интегрирования

Мы будем использовать метод цилиндров. Объем V можно выразить как:

V = π * ∫[a, b] (радиус)^2 dx

В нашем случае радиус будет равен y, который можно выразить через x. У нас есть функция y = 2x - 3, и мы будем интегрировать от x = 2.5 до x = 3.

Шаг 3: Запись интеграла

Объем V будет равен:

V = π * ∫[2.5, 3] (2x - 3)^2 dx

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь мы вычислим интеграл:

• Раскроем скобки:
1. (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9
• Теперь вычислим интеграл:
1. V = π * ∫[2.5, 3] (4x^2 - 12x + 9) dx

Вычисляем интеграл:

• ∫(4x^2) dx = (4/3)x^3
• ∫(-12x) dx = -6x^2
• ∫(9) dx = 9x

Итак, интеграл будет равен:

V = π * [(4/3)x^3 - 6x^2 + 9x] | [2.5, 3]

Шаг 5: Подстановка пределов интегрирования

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

• Для x = 3:
1. (4/3)(3^3) - 6(3^2) + 9(3)
2. = (4/3)(27) - 6(9) + 27
3. = 36 - 54 + 27 = 9
• Для x = 2.5:
1. (4/3)(2.5^3) - 6(2.5^2) + 9(2.5)
2. = (4/3)(15.625) - 6(6.25) + 22.5
3. = 20.8333 - 37.5 + 22.5 = 5.8333

Теперь находим разность:

V = π * (9 - 5.8333) = π * 3.1667

Шаг 6: Окончательный ответ

Таким образом, объем тела, получающегося при вращении фигуры вокруг оси Y, равен:

V ≈ 3.1667π.