а) Выписать все элементы отношения R явно.

Отношение R задано условием, что сумма x и y является четным числом. Мы будем проверять все возможные пары (x, y) из множества X = {-1, 0, 1, 2}.

Сначала перечислим все возможные пары:

• (-1, -1)
• (-1, 0)
• (-1, 1)
• (-1, 2)
• (0, -1)
• (0, 0)
• (0, 1)
• (0, 2)
• (1, -1)
• (1, 0)
• (1, 1)
• (1, 2)
• (2, -1)
• (2, 0)
• (2, 1)
• (2, 2)

Теперь проверим, какие из этих пар удовлетворяют условию четности суммы:

• Сумма (-1) + (-1) = -2 (четное)
• Сумма (-1) + 0 = -1 (нечетное)
• Сумма (-1) + 1 = 0 (четное)
• Сумма (-1) + 2 = 1 (нечетное)
• Сумма 0 + (-1) = -1 (нечетное)
• Сумма 0 + 0 = 0 (четное)
• Сумма 0 + 1 = 1 (нечетное)
• Сумма 0 + 2 = 2 (четное)
• Сумма 1 + (-1) = 0 (четное)
• Сумма 1 + 0 = 1 (нечетное)
• Сумма 1 + 1 = 2 (четное)
• Сумма 1 + 2 = 3 (нечетное)
• Сумма 2 + (-1) = 1 (нечетное)
• Сумма 2 + 0 = 2 (четное)
• Сумма 2 + 1 = 3 (нечетное)
• Сумма 2 + 2 = 4 (четное)

Таким образом, мы получаем следующие пары, которые входят в отношение R:

• (-1, -1)
• (-1, 1)
• (0, 0)
• (0, 2)
• (1, -1)
• (1, 1)
• (2, 0)
• (2, 2)

Итак, элементы отношения R: {( -1, -1), (-1, 1), (0, 0), (0, 2), (1, -1), (1, 1), (2, 0), (2, 2)}.

б) Изобразить отношение R на диаграмме декартова квадрата.

Декартов квадрат для множества X будет выглядеть как сетка, где по одной оси откладываются значения x, а по другой - значения y. Мы отметим точки, соответствующие парам, входящим в отношение R.

Сетка будет следующей:

     y
     |
  2  |  •
     |
  1  |  •     •
     |
  0  |  •     •
     |
 -1  |  •
     +----------------
       -1  0  1  2  x

Здесь "•" обозначает, что соответствующая пара (x, y) входит в отношение R.

в) Проверить свойства отношения.

Теперь проверим свойства отношения R: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

• Рефлексивность: Для каждого x из X должно выполняться (x, x) ∈ R. Проверяем:
• (-1, -1): сумма -2 (четное)
• (0, 0): сумма 0 (четное)
• (1, 1): сумма 2 (четное)
• (2, 2): сумма 4 (четное)
• Все пары удовлетворяют условию, следовательно, отношение R рефлексивно.
• Симметричность: Если (x, y) ∈ R, то (y, x) также должно быть в R. Проверяем:
• (-1, -1) и (-1, 1) симметричны.
• (0, 0) и (0, 2) симметричны.
• (1, -1) и (1, 1) симметричны.
• (2, 0) и (2, 2) симметричны.
• Все пары удовлетворяют условию, следовательно, отношение R симметрично.
• Транзитивность: Если (x, y) ∈ R и (y, z) ∈ R, то (x, z) также должно быть в R. Проверяем:
• Например, (0, 2) и (2, 2) дают (0, 2), что в R.
• Но (1, -1) и (-1, 1) дают (1, 1), что также в R.
• Однако, (0, 0) и (0, 2) не дают (0, 2), так как (0, 0) в R, но (0, 2) не дает (0, 0).
• Таким образом, не все пары удовлетворяют условию, следовательно, отношение R не транзитивно.

В итоге, отношение R является рефлексивным и симметричным, но не транзитивным.