Давайте разберем задачу по шагам.

а) Выпишите все элементы отношения R явно.

Отношение R задано как {(x, y) | x + y является чётным числом}. Это значит, что мы должны найти все пары (x, y), где x и y принадлежат множеству X = {-1, 0, 1, 2}, и сумма x + y будет чётным числом.

Чтобы сумма двух чисел была чётной, оба числа должны быть либо чётными, либо нечётными. Теперь определим четные и нечётные числа в нашем множестве:

• Чётные числа: 0, 2
• Нечётные числа: -1, 1

Теперь выполним перебор всех возможных пар (x, y) из множества X:

1. (-1, -1): -1 + -1 = -2 (чётное)
2. (-1, 0): -1 + 0 = -1 (нечётное)
3. (-1, 1): -1 + 1 = 0 (чётное)
4. (-1, 2): -1 + 2 = 1 (нечётное)
5. (0, -1): 0 + -1 = -1 (нечётное)
6. (0, 0): 0 + 0 = 0 (чётное)
7. (0, 1): 0 + 1 = 1 (нечётное)
8. (0, 2): 0 + 2 = 2 (чётное)
9. (1, -1): 1 + -1 = 0 (чётное)
10. (1, 0): 1 + 0 = 1 (нечётное)
11. (1, 1): 1 + 1 = 2 (чётное)
12. (1, 2): 1 + 2 = 3 (нечётное)
13. (2, -1): 2 + -1 = 1 (нечётное)
14. (2, 0): 2 + 0 = 2 (чётное)
15. (2, 1): 2 + 1 = 3 (нечётное)
16. (2, 2): 2 + 2 = 4 (чётное)

Теперь соберем все пары, где сумма чётная:

R = {(-1, -1), (-1, 1), (0, 0), (0, 2), (1, -1), (1, 1), (2, 0), (2, 2)}

б) Изобразите отношение R на диаграмме декартова квадрата.

Декартов квадрат для множества X = {-1, 0, 1, 2} будет выглядеть как 4x4 таблица, где строки и столбцы представляют элементы множества X. Для каждой пары (x, y), входящей в отношение R, мы будем ставить точку.

Таблица будет выглядеть так:

     -1   0   1   2
   ----------------
-1 | ●   .   ●   .
  0 | .   ●   .   ●
  1 | ●   .   ●   .
  2 | .   ●   .   ●

Здесь "●" обозначает, что пара (x, y) принадлежит отношению R, а "." - что не принадлежит.

в) Проверьте свойства отношения.

Теперь проверим свойства отношения R: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

• Рефлексивность: Отношение R рефлексивно, если для каждого x из X выполняется (x, x) ∈ R. Проверим:
• (-1, -1): -1 + -1 = -2 (чётное)
• (0, 0): 0 + 0 = 0 (чётное)
• (1, 1): 1 + 1 = 2 (чётное)
• (2, 2): 2 + 2 = 4 (чётное)
• Все пары (x, x) принадлежат R, следовательно, R рефлексивно.
• Симметричность: Отношение R симметрично, если для любых (x, y) ∈ R выполняется (y, x) ∈ R. Проверим:
• Если (x, y) ∈ R, то x + y чётное. Сумма y + x также будет чётной.
• Следовательно, R симметрично.
• Транзитивность: Отношение R транзитивно, если для любых (x, y), (y, z) ∈ R следует (x, z) ∈ R. Проверим:
• Рассмотрим (x, y) и (y, z) ∈ R. Это означает, что x + y и y + z чётные. Тогда (x + y) + (y + z) = x + 2y + z чётное.
• Однако, чтобы проверить транзитивность, нам нужно, чтобы x + z было чётным. Это не всегда выполняется. Например, (1, -1) и (-1, 1) принадлежат R, но (1, 1) не принадлежит R.
• Следовательно, R не транзитивно.

Таким образом, мы имеем:

• R рефлексивно
• R симметрично
• R не транзитивно