Похожие вопросы
2025-11-02 03:25:01
6. Фигура ограничена линиями: y=1+x^3, y=0, x=-3.
Вычислите:
а) площадь фигуры, ограниченной заданными линиями;
b) объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной заданными линиями.
Алгебра 11 класс Интегралы и их применение алгебра 11 класс площадь фигуры Объём тела вращение вокруг оси графики функций интегралы математический анализ задачи по алгебре ограниченные фигуры Новый
2025-11-02 03:25:22
Для решения задачи, давайте разберем каждый пункт отдельно.
а) Вычисление площади фигурыФигура ограничена кривой y = 1 + x^3, осью y (y = 0) и вертикальной линией x = -3. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить границы интегрирования и саму функцию, которую будем интегрировать.
- Сначала найдем точки пересечения кривой y = 1 + x^3 и оси y (y = 0). Для этого решим уравнение:
1 + x^3 = 0
x^3 = -1
x = -1
- Таким образом, точки пересечения: (-1, 0).
- Теперь определим границы интегрирования. Мы будем интегрировать от x = -3 до x = -1.
Площадь фигуры будет равна интегралу от функции y = 1 + x^3 на отрезке от -3 до -1:
Площадь = ∫[от -3 до -1] (1 + x^3) dx
Теперь вычислим интеграл:
- ∫(1 + x^3) dx = x + (x^4)/4 + C
- Теперь подставим пределы интегрирования:
Площадь = [(-1) + ((-1)^4)/4] - [(-3) + ((-3)^4)/4]
Площадь = [-1 + 1/4] - [-3 + 81/4]
Площадь = [-4/4 + 1/4] - [-12/4 + 81/4]
Площадь = -3/4 + 69/4
Площадь = 66/4 = 16.5
Ответ: Площадь фигуры равна 16.5. б) Вычисление объема тела вращенияТеперь найдем объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX. Для этого используем метод дисков. Объем V будет равен:
V = π ∫[от -3 до -1] (1 + x^3)² dx
Сначала найдем (1 + x^3)²:
(1 + x^3)² = 1 + 2x^3 + x^6
Теперь подставим это в формулу объема:
V = π ∫[от -3 до -1] (1 + 2x^3 + x^6) dx
Вычислим интеграл:
- ∫(1 + 2x^3 + x^6) dx = x + (2x^4)/4 + (x^7)/7 + C = x + (x^4)/2 + (x^7)/7 + C
- Теперь подставим пределы интегрирования:
V = π [(-1) + ((-1)^4)/2 + ((-1)^7)/7] - π [(-3) + ((-3)^4)/2 + ((-3)^7)/7]
V = π [-1 + 1/2 - 1/7] - π [-3 + 81/2 - 2187/7]
Теперь упрощаем каждую часть:
V = π [-1 + 0.5 - 0.142857] - π [-3 + 40.5 - 312.428571]
V = π [-0.642857] - π [-275.928571]
V = π [275.285714]
Ответ: Объем тела вращения равен приблизительно 275.29π.